問題は、円 $C: x^2 + y^2 = 4$ と放物線 $P: y = x^2 + b$ が接するときの $b$ の値を求める問題です。花子さんの方法では、$y$ を消去して得られる $x$ の4次方程式の解が重解となる条件を考えます。そして、CとPが1点で接する場合、2点で接する場合について、$b$の値を求め、そのときのCとPの接し方を図から選びます。

1. 問題の内容

問題は、円 $C: x^2 + y^2 = 4$ と放物線 $P: y = x^2 + b$ が接するときの $b$ の値を求める問題です。花子さんの方法では、$y$ を消去して得られる $x$ の4次方程式の解が重解となる条件を考えます。そして、CとPが1点で接する場合、2点で接する場合について、$b$の値を求め、そのときのCとPの接し方を図から選びます。

2. 解き方の手順

(i) 花子さんの求め方について

$y = x^2 + b$ を $x^2 + y^2 = 4$ に代入すると、

$x^2 + (x^2 + b)^2 = 4$

$x^2 + x^4 + 2bx^2 + b^2 = 4$

$x^4 + (2b+1)x^2 + b^2 - 4 = 0$ ... (2)

まず、CとPが1点だけで接するとき、Pの軸上にCの中心があるので、②は$x = 0$を重解にもつ。

よって、$b^2 - 4 = 0$ より、$b = \pm 2$。

$b = 2$のとき、②は$x^4 + 5x^2 = 0$ となり、$x^2(x^2 + 5) = 0$。$x = 0$は重解となる。このとき、$y = x^2 + 2 = 2$。

$b = -2$のとき、②は$x^4 - 3x^2 = 0$ となり、$x^2(x^2 - 3) = 0$。$x = 0$は重解となる。このとき、$y = x^2 - 2 = -2$。

$b = 2$ のとき、CとPは図①のように接する。

$b = -2$ のとき、CとPは図⑤のように接する。

次に、CとPが異なる2点で接するとき、②の重解の一つを $x = c (c \neq 0)$ とすると、もう一つの重解は $-c$ である。

②は$(x-c)^2 (x+c)^2 = (x^2-c^2)^2 = x^4 - 2c^2 x^2 + c^4 = 0$ と変形できる。

$x^4 + (2b+1)x^2 + b^2 - 4 = x^4 - 2c^2 x^2 + c^4$ より、$2b+1 = -2c^2$、$b^2 - 4 = c^4$。

$b = \frac{-2c^2 - 1}{2}$ を $b^2 - 4 = c^4$ に代入すると、$\left(\frac{-2c^2 - 1}{2}\right)^2 - 4 = c^4$。

$\frac{4c^4 + 4c^2 + 1}{4} - 4 = c^4$。

$4c^4 + 4c^2 + 1 - 16 = 4c^4$。

$4c^2 = 15$。

$c^2 = \frac{15}{4}$。

$b = \frac{-2 \cdot \frac{15}{4} - 1}{2} = \frac{-\frac{15}{2} - 1}{2} = \frac{-\frac{17}{2}}{2} = -\frac{17}{4}$。

$b = -\frac{17}{4}$。このとき、CとPは図④のように接している。

②が異なる三つ以上の重解を持つことはないので、CとPが異なる3点以上で接することはない。

よって、CとPが接するときのbの値は$2$, $-2$, $-\frac{17}{4}$。

3. 最終的な答え

ウ: 0

エ: 2

オカ: -2

キ: ①

ク: ⑤

ケコサ: -17

シ: 4