問題文は以下の通りです。 1. 大小中 3 個のサイコロを投げるとき、次の場合は何通りあるか。 (1) 全て異なる目が出る。 (2) 目の積が奇数になる。 (3) 目の積が偶数になる。 (4) 目の積が 20 になる。

1. 問題の内容

問題文は以下の通りです。

1. 大小中 3 個のサイコロを投げるとき、次の場合は何通りあるか。

(1) 全て異なる目が出る。

(2) 目の積が奇数になる。

(3) 目の積が偶数になる。

(4) 目の積が 20 になる。

2. 6 個の数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 のうちの異なる 4 個を並べて、4 桁の整数を作るとき、次のような整数は何個作れるか。

(1) 4 桁の整数

(2) 4 桁の奇数

(3) 4 桁の 5 の倍数

3. 7 人の大人と 5 人の子どもから、3 人を選ぶとき、次のような場合は何通りあるか。

(1) 大人が 2 人以上選ばれる。

(2) 少なくとも子どもが 1 人選ばれる。

4. 8 人を次のように分けるとき、分け方は何通りあるか。

(1) 3 人部屋 A, B と 2 人部屋 C の 3 部屋に分ける。

(2) 3 人、3 人、2 人の 3 つの組に分ける。

2. 解き方の手順

1. (1) 大中小のサイコロの目が全て異なる場合は、$6 \times 5 \times 4 = 120$ 通りです。

(2) 目の積が奇数になるのは、全ての目が奇数の場合です。奇数は 1, 3, 5 の 3 つなので、$3 \times 3 \times 3 = 27$ 通りです。

(3) 目の積が偶数になるのは、少なくとも 1 つの目が偶数の場合です。全体の組み合わせから、全ての目が奇数の場合を引けばよいので、$6 \times 6 \times 6 - 27 = 216 - 27 = 189$ 通りです。

(4) 目の積が 20 になるのは、(1, 4, 5), (2, 2, 5), (1, 5, 4), (4, 1, 5), (4, 5, 1), (5, 1, 4), (5, 4, 1), (2, 5, 2), (5, 2, 2) のような組み合わせが考えられます。(1, 4, 5) の組み合わせは 3! = 6 通り。(2, 2, 5) の組み合わせは $3!/2! = 3$ 通り。合計 $6 + 3 = 9$通り。

2. (1) 4 桁の整数を作る場合、千の位は 0 以外なので 5 通り。百の位は千の位で使った数字以外の 5 通り。十の位は千と百で使った数字以外の 4 通り。一の位は千と百と十で使った数字以外の 3 通り。よって、$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$ 個。

(2) 4 桁の奇数を作る場合、一の位が奇数である必要があります。奇数は 1, 3, 5 の 3 つ。

i) 千の位が 0 でない場合、千の位は 0 と一の位の数以外なので 4 通り。百の位は千と一の位で使った数以外の 4 通り。十の位は千と百と一の位で使った数以外の 3 通り。 $4 \times 4 \times 3 = 48$

ii) 千の位が 0 の場合。一の位が奇数なので3通り。千の位は0なので使えない。百の位は4通り。十の位は3通り。 $3 \times 4 \times 3 = 36$。

よって $4 \times 4 \times 3 + 3 \times 4 \times 3= 48 + 36= 84 + 0 =48 + 0$通り

一の位が奇数の場合を考えると

一の位の選び方は 3通り

千の位の選び方は 0 と 一の位の数字を除いた 4通り

百の位の選び方は 千の位と一の位の数字を除いた 4通り

十の位の選び方は 千の位と百の位と一の位の数字を除いた 3通り

3 * 4 * 4 * 3 = 144通り。

(3) 4 桁の 5 の倍数を作る場合、一の位が 0 または 5 である必要があります。

i) 一の位が 0 の場合、千の位は 5 通り、百の位は 4 通り、十の位は 3 通り。$5 \times 4 \times 3 = 60$ 個。

ii) 一の位が 5 の場合、千の位は 0 以外なので 4 通り、百の位は 4 通り、十の位は 3 通り。$4 \times 4 \times 3 = 48$ 個。

合計 $60 + 48 = 108$ 個。

3. (1) 大人が 2 人以上選ばれるのは、大人 2 人と子供 1 人、または大人 3 人の場合です。

大人 2 人と子供 1 人の場合：${7 \choose 2} \times {5 \choose 1} = 21 \times 5 = 105$ 通り。

大人 3 人の場合：${7 \choose 3} = 35$ 通り。

合計 $105 + 35 = 140$ 通り。

(2) 少なくとも子供が 1 人選ばれるのは、3 人の選び方全体から、大人 3 人が選ばれる場合を引けばよいです。

3 人の選び方全体：${12 \choose 3} = 220$ 通り。

大人 3 人の場合：${7 \choose 3} = 35$ 通り。

子供が少なくとも 1 人選ばれる場合：$220 - 35 = 185$ 通り。

4. (1) まず 8 人から 3 人を選んで A 部屋に入れ、残りの 5 人から 3 人を選んで B 部屋に入れ、残りの 2 人を C 部屋に入れる。 ${8 \choose 3} \times {5 \choose 3} \times {2 \choose 2} = 56 \times 10 \times 1 = 560$ 通り。

(2) 3 人、3 人、2 人の 3 つの組に分ける場合、まず 8 人から 3 人を選び、残りの 5 人から 3 人を選び、残りの 2 人を選ぶ。ただし、3 人の組が 2 つあるので、2! で割る必要がある。${8 \choose 3} \times {5 \choose 3} \times {2 \choose 2} / 2! = 56 \times 10 \times 1 / 2 = 280$ 通り。

3. 最終的な答え

1. (1) 120 通り

(2) 27 通り

(3) 189 通り

(4) 9 通り

2. (1) 300 個

(2) 84個

(3) 108 個

3. (1) 140 通り

(2) 185 通り

4. (1) 560 通り

(2) 280 通り