$a$を定数とする。$x$についての方程式 $4^x + 4^{-x} - 2^{x+3} - 2^{-x+3} + 20 - a = 0$ の異なる実数解の個数を調べる。(1) $a=2$のとき、問題の方程式の実数解を求める。$t = 2^x + 2^{-x}$とおくと、$a=2$のとき、$t=$ ア であるから、方程式 $2^x + 2^{-x} =$ ア を解くと $x = \log_2 ( \text{イ} \pm \sqrt{\text{ウ}} )$ である。

1. 問題の内容

$a$を定数とする。$x$についての方程式 $4^x + 4^{-x} - 2^{x+3} - 2^{-x+3} + 20 - a = 0$ の異なる実数解の個数を調べる。(1) $a=2$のとき、問題の方程式の実数解を求める。$t = 2^x + 2^{-x}$とおくと、$a=2$のとき、$t=$ ア であるから、方程式 $2^x + 2^{-x} =$ ア を解くと $x = \log_2 ( \text{イ} \pm \sqrt{\text{ウ}} )$ である。

2. 解き方の手順

(1) $a=2$のとき、$4^x + 4^{-x} - 2^{x+3} - 2^{-x+3} + 20 - a = 0$ は $4^x + 4^{-x} - 2^{x+3} - 2^{-x+3} + 20 - 2 = 0$ となる。

これは、$4^x + 4^{-x} - 2^{x+3} - 2^{-x+3} + 18 = 0$ となる。

$t = 2^x + 2^{-x}$とおくと、太郎さんの解答より、$f(x) = (t-4)^2 + 2$ となる。

したがって、方程式は $(t-4)^2 + 2 = a$ となる。$a=2$ を代入すると $(t-4)^2 + 2 = 2$ となる。$(t-4)^2 = 0$ より $t=4$ となる。

$2^x + 2^{-x} = 4$ を解く。

$2^x + \frac{1}{2^x} = 4$

両辺に $2^x$ をかけると $(2^x)^2 + 1 = 4(2^x)$

$(2^x)^2 - 4(2^x) + 1 = 0$

$2^x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

$x = \log_2 (2 \pm \sqrt{3})$

3. 最終的な答え

ア: 4

イ: 2

ウ: 3

$t = 4$

$x = \log_2(2 \pm \sqrt{3})$