(2) 方程式 $2^x + 2^{-x} = 0$ の実数解の個数を求めよ。 (3) $t = 2^x + 2^{-x}$ のとき、$t$ のとり得る値の範囲を求めよ。また、$t$ の値を一つ定めたときの $x$ の値の個数を求めよ。

1. 問題の内容

(2) 方程式 $2^x + 2^{-x} = 0$ の実数解の個数を求めよ。

(3) $t = 2^x + 2^{-x}$ のとき、$t$ のとり得る値の範囲を求めよ。また、$t$ の値を一つ定めたときの $x$ の値の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(2) 方程式 $2^x + 2^{-x} = 0$ について

$2^x > 0$ かつ $2^{-x} > 0$ であるため、$2^x + 2^{-x} > 0$ が常に成り立つ。

したがって、$2^x + 2^{-x} = 0$ を満たす実数 $x$ は存在しない。

(3) $t = 2^x + 2^{-x}$ について

相加平均・相乗平均の関係より、

$2^x + 2^{-x} \ge 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2\sqrt{1} = 2$

したがって、$t \ge 2$ である。

等号成立は $2^x = 2^{-x}$ のときなので、$x = 0$ のときである。

$t$ の値を一つ定めたとき、$t = 2^x + 2^{-x}$ を $2^x$ についての二次方程式として解く。

$(2^x)^2 - t(2^x) + 1 = 0$

$2^x = \frac{t \pm \sqrt{t^2 - 4}}{2}$

ここで、$t \ge 2$ より、$t^2 - 4 \ge 0$ なので、常に実数解を持つ。

(i) $t > 2$ のとき、$t^2 - 4 > 0$ なので、

$2^x = \frac{t + \sqrt{t^2 - 4}}{2}$ と $2^x = \frac{t - \sqrt{t^2 - 4}}{2}$ は異なる正の実数解を持つ。

したがって、$x$ の値は2個存在する。

(ii) $t = 2$ のとき、$2^x = 1$ より、$x = 0$ となり、$x$ の値は1個存在する。

したがって、$t=2$ のとき $x$ は1個、$t>2$のとき $x$ は2個なので、$1個のときと2個のときがある。

3. 最終的な答え

(2) (0) 実数解をもたない

(3) オ: (1) $t \ge 2$

カ: (1) 1個のときと2個のときがある