(1) 2次方程式 $x^2 + ax + 36 = 0$ の解がただ一つのとき、$a$ の値を求めなさい。 (2) 2次方程式 $x^2 + ax + 12 = 0$ の解がどちらも整数のとき、$a$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 + ax + 36 = 0$ の解がただ一つのとき、$a$ の値を求めなさい。

(2) 2次方程式 $x^2 + ax + 12 = 0$ の解がどちらも整数のとき、$a$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 + ax + 36 = 0$ の解がただ一つということは、判別式 $D$ が0に等しいということです。

$D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = a^2 - 144 = 0$

$a^2 = 144$

$a = \pm 12$

(2) 2次方程式 $x^2 + ax + 12 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とします。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -a$

$\alpha \beta = 12$

$\alpha$ と $\beta$ が整数のとき、$\alpha \beta = 12$ を満たす整数の組み合わせを全て求めます。

(1, 12), (2, 6), (3, 4), (-1, -12), (-2, -6), (-3, -4)

これらの組み合わせに対して、$a = -(\alpha + \beta)$ を計算します。

(1, 12) のとき、 $a = -(1+12) = -13$

(2, 6) のとき、 $a = -(2+6) = -8$

(3, 4) のとき、 $a = -(3+4) = -7$

(-1, -12) のとき、 $a = -(-1-12) = 13$

(-2, -6) のとき、 $a = -(-2-6) = 8$

(-3, -4) のとき、 $a = -(-3-4) = 7$

よって、$a$ の値は $-13, -8, -7, 7, 8, 13$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a = 12, -12$

(2) $a = -13, -8, -7, 7, 8, 13$