(1) 2次方程式 $x^2 + ax + 36 = 0$ がただ一つの解を持つとき、$a$ の値を求めなさい。 (2) 2次方程式 $x^2 + ax + 12 = 0$ の2つの解がどちらも整数のとき、$a$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

(1) 2次方程式 $x^2 + ax + 36 = 0$ がただ一つの解を持つとき、$a$ の値を求めなさい。

(2) 2次方程式 $x^2 + ax + 12 = 0$ の2つの解がどちらも整数のとき、$a$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 + ax + 36 = 0$ がただ一つの解を持つのは、判別式 $D$ が $0$ となるときです。判別式 $D$ は、$D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = a^2 - 144$ です。

$a^2 - 144 = 0$

$a^2 = 144$

$a = \pm 12$

(2) 2次方程式 $x^2 + ax + 12 = 0$ の2つの解を $\alpha$ と $\beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -a$

$\alpha \beta = 12$

$\alpha$ と $\beta$ は整数なので、$\alpha \beta = 12$ を満たす整数の組 $(\alpha, \beta)$ は、次のとおりです。

(1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1), (-1, -12), (-2, -6), (-3, -4), (-4, -3), (-6, -2), (-12, -1)

これらの組に対して、$a = -(\alpha + \beta)$ を計算します。

* (1, 12) のとき、 $a = -(1 + 12) = -13$

* (2, 6) のとき、 $a = -(2 + 6) = -8$

* (3, 4) のとき、 $a = -(3 + 4) = -7$

* (4, 3) のとき、 $a = -(4 + 3) = -7$

* (6, 2) のとき、 $a = -(6 + 2) = -8$

* (12, 1) のとき、 $a = -(12 + 1) = -13$

* (-1, -12) のとき、 $a = -(-1 - 12) = 13$

* (-2, -6) のとき、 $a = -(-2 - 6) = 8$

* (-3, -4) のとき、 $a = -(-3 - 4) = 7$

* (-4, -3) のとき、 $a = -(-4 - 3) = 7$

* (-6, -2) のとき、 $a = -(-6 - 2) = 8$

* (-12, -1) のとき、 $a = -(-12 - 1) = 13$

したがって、$a$ の値は $\pm 7$, $\pm 8$, $\pm 13$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a = \pm 12$

(2) $a = \pm 7, \pm 8, \pm 13$