与えられた条件 $0 < p \le 1$, $0 < q \le 1$ と、不等式 $0 < \frac{1}{3(1-t)} \le 1$ および $0 < \frac{1}{3t} \le 1$ から、$t$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた条件 $0 < p \le 1$, $0 < q \le 1$ と、不等式 $0 < \frac{1}{3(1-t)} \le 1$ および $0 < \frac{1}{3t} \le 1$ から、$t$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式 $0 < \frac{1}{3(1-t)} \le 1$ を解きます。

$\frac{1}{3(1-t)} \le 1$ より、$1 \le 3(1-t)$ となり、$1 \le 3 - 3t$。

$3t \le 2$ となり、$t \le \frac{2}{3}$ が得られます。

次に、$0 < \frac{1}{3(1-t)}$ より、$3(1-t) > 0$。

$1 - t > 0$ となり、$t < 1$ が得られます。

次に、与えられた不等式 $0 < \frac{1}{3t} \le 1$ を解きます。

$\frac{1}{3t} \le 1$ より、$1 \le 3t$ となり、$t \ge \frac{1}{3}$ が得られます。

次に、$0 < \frac{1}{3t}$ より、$3t > 0$。

$t > 0$ が得られます。

したがって、$t \le \frac{2}{3}$ かつ $t \ge \frac{1}{3}$ なので、$\frac{1}{3} \le t \le \frac{2}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \le t \le \frac{2}{3}$