(2) $2^x + 2^{-x} = 0$ の実数解の個数を求める。 (3) $t = 2^x + 2^{-x}$ のとき、$t$ の取り得る値の範囲と、$t$ の値を一つ定めたときの $x$ の値の個数を求める。 (4) $y = (t-4)^2 + 2$ と $y=a$ のグラフの共有点の個数から、元の問題の方程式の実数解の個数を判定する問題。$a$ の値によって実数解が存在しない、2個、3個、4個の場合を区別する。

1. 問題の内容

(2) $2^x + 2^{-x} = 0$ の実数解の個数を求める。

(3) $t = 2^x + 2^{-x}$ のとき、$t$ の取り得る値の範囲と、$t$ の値を一つ定めたときの $x$ の値の個数を求める。

(4) $y = (t-4)^2 + 2$ と $y=a$ のグラフの共有点の個数から、元の問題の方程式の実数解の個数を判定する問題。$a$ の値によって実数解が存在しない、2個、3個、4個の場合を区別する。

2. 解き方の手順

(2) $2^x + 2^{-x} = 0$ について、指数関数は常に正であるから、$2^x > 0$ かつ $2^{-x} > 0$ である。したがって、$2^x + 2^{-x}$ は常に正であり、0になることはない。

(3)

$t = 2^x + 2^{-x}$ について、相加平均・相乗平均の関係より、

$t = 2^x + 2^{-x} \ge 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2\sqrt{1} = 2$

したがって、$t \ge 2$ である。

$t$ の値を一つ定めたとき、$2^x + 2^{-x} = t$ を満たす $x$ の個数を考える。

両辺に $2^x$ をかけて整理すると、$(2^x)^2 - t(2^x) + 1 = 0$

$2^x = X$ とおくと、$X^2 - tX + 1 = 0$

$X = \frac{t \pm \sqrt{t^2 - 4}}{2}$

$X > 0$ である必要がある。$t \ge 2$ より $t^2 - 4 \ge 0$ であり、$X$ は常に実数解を持つ。

$t > 2$ のとき、$t^2 - 4 > 0$ より $\sqrt{t^2-4} > 0$ なので、 $X_1 = \frac{t + \sqrt{t^2 - 4}}{2} > 0$ と $X_2 = \frac{t - \sqrt{t^2 - 4}}{2} > 0$ は異なる2つの正の実数解を持つ。このとき $x = \log_2 X$ も異なる2つの実数解を持つ。

$t = 2$ のとき、$X = \frac{2 \pm \sqrt{0}}{2} = 1$ となり、$2^x = 1$ より $x = 0$ となる。

したがって、$t > 2$ のとき $x$ は2個、$t=2$ のとき $x$ は1個である。

(4)

$y = (t-4)^2 + 2$ と $y=a$ のグラフの共有点の個数から、元の問題の方程式の実数解の個数を判定する。$t \ge 2$ であることに注意。

$y = (t-4)^2 + 2$ は $t=4$ で最小値2を取る下に凸の放物線。

$t$ と $x$ の関係から、$t=2$ のとき $x$ は1個、$t>2$ のとき $x$ は2個である。

- $a < 2$ のとき、共有点を持たないため、実数解は存在しない。

- $a = 2$ のとき、$t=4$ で1つの共有点を持つ。$t=4 > 2$ なので、$x$ は2個。

- $2 < a < 6$ のとき、$t$ は2つの値を持つ。$2 < t < 4$ の値と $t > 4$ の値。$t>2$ なので、$x$ は4個。

- $a = 6$ のとき、$t=2$ と $t=6$ となり、$t=2$ のとき $x$ は1個、$t=6$ のとき $x$ は2個。したがって、$x$ は3個。

- $a > 6$ のとき、$t$ は2つの値を持つ。両方とも $t > 2$ なので、$x$ は4個。

3. 最終的な答え

(2) 実数解をもたない

(3) $t$ の取り得る値の範囲は $t \ge 2$ なので、オ：⑤

$t$ の値を一つ定めたときの $x$ の値の個数は、$t=2$ のとき1個、$t>2$ のとき2個なので、カ：①

(4) 実数解が存在しないのは $a < 2$ のときなので、キ：⓪

実数解がちょうど2個存在するのは $a=2$ のときなので、ク：②

実数解がちょうど3個存在するのは $a=6$ のときなので、コ：④

実数解がちょうど4個存在するのは $2 < a < 6$または $a > 6$のときなので、サ：⑦, ⑧