生徒AとBが先生と偏差値について話している。空欄ア、イ、ウ、エ、オ、カに当てはまる値を求める。ただし、カは小数第2位を四捨五入して答える。偏差値の計算式が与えられており、正規分布についても考慮する。

1. 問題の内容

生徒AとBが先生と偏差値について話している。空欄ア、イ、ウ、エ、オ、カに当てはまる値を求める。ただし、カは小数第2位を四捨五入して答える。偏差値の計算式が与えられており、正規分布についても考慮する。

2. 解き方の手順

* ア: 自分の点数が平均点と同じ場合、偏差値は

$偏差値 = 10 \times \frac{(自分の点数) - (平均点)}{標準偏差} + 50$

自分の点数 = 平均点の場合、$偏差値 = 10 \times \frac{0}{標準偏差} + 50 = 50$

* イ: Aの前回の偏差値を計算する。

$偏差値 = 10 \times \frac{68 - 50}{10} + 50 = 10 \times \frac{18}{10} + 50 = 18 + 50 = 68$

* ウ: Aの今回の偏差値を計算する。

$偏差値 = 10 \times \frac{70 - 40}{20} + 50 = 10 \times \frac{30}{20} + 50 = 10 \times 1.5 + 50 = 15 + 50 = 65$

* エ: Aが前回の偏差値(68)を出すためには、あと何点必要だったのかを考える。今回の標準偏差は20なので、

$68 = 10 \times \frac{x - 40}{20} + 50$

$18 = 10 \times \frac{x - 40}{20}$

$36 = x - 40$

$x = 76$

現在の点数は70点なので、あと $76 - 70 = 6$ 点必要。

* オ: 偏差値が70以上になるには、何点以上取らないといけないかを考える。

$70 = 10 \times \frac{x - 40}{20} + 50$

$20 = 10 \times \frac{x - 40}{20}$

$40 = x - 40$

$x = 80$

* カ: 偏差値が70以上になる上位何%かを考える。偏差値が正規分布に従うと仮定する。平均50, 標準偏差10/10 * 20 = 20である。

z値を計算する。$z = \frac{70 - 50}{10} = 2.0$

正規分布表からz=2.0に対応する値を探すと、0.9772となる。これは下位からの割合なので、上位からの割合は $1 - 0.9772 = 0.0228$ つまり $2.28\%$。小数第2位を四捨五入すると、$2.3\%$

3. 最終的な答え

ア: 50

イ: 68

ウ: 65

エ: 6

オ: 80

カ: 2.3