問題は、曲線Cと放物線Pが接する条件から、与えられた空欄を埋める問題です。具体的には、曲線C上の点$(x_1, y_1)$における接線の方程式を求め、その接線が放物線Pの接線と一致することから、$x_1$と$y_1$の関係式を導き、最後に$b=y_1 - x_1^2$の値を計算します。

1. 問題の内容

問題は、曲線Cと放物線Pが接する条件から、与えられた空欄を埋める問題です。具体的には、曲線C上の点$(x_1, y_1)$における接線の方程式を求め、その接線が放物線Pの接線と一致することから、$x_1$と$y_1$の関係式を導き、最後に$b=y_1 - x_1^2$の値を計算します。

2. 解き方の手順

まず、曲線Cの方程式が$x^2 + y^2 = 4$であることに着目します。

この曲線上の点$(x_1, y_1)$における接線の方程式は、$x_1x + y_1y = 4$で与えられます。(円の接線の公式より)

したがって、空欄「ス」に入るのは、選択肢の①です。

次に、与えられたPの接線の方程式$y = 2x_1(x - x_1) + y_1$を整理すると、$y = 2x_1 x - 2x_1^2 + y_1$となります。これを③の方程式$x_1x + y_1y = 4$に代入して、$y$を消去します。

$x_1 x + y_1 (2x_1 x - 2x_1^2 + y_1) = 4$

$x_1 x + 2x_1 y_1 x - 2x_1^2 y_1 + y_1^2 = 4$

$(x_1 + 2x_1 y_1) x - 2x_1^2 y_1 + y_1^2 - 4 = 0$

$x_1 (1 + 2y_1) x - 2x_1^2 y_1 + y_1^2 - 4 = 0$

問題文にある式⑤は$x_1(2y_1 + 1)x - 2x_1^2y_1 + y_1^2 - 4 = 0$であるので、$x$の係数と定数項がそれぞれ0になる必要があります。

なぜなら、CとPが点$(x_1, y_1)$で接するとき、すべての$x$に対して⑤が成り立つからです。

したがって、$x_1(2y_1 + 1) = 0$と$-2x_1^2y_1 + y_1^2 - 4 = 0$が成り立ちます。

よって、空欄「セ」に入るのは0です。

$x_1(2y_1 + 1) = 0$より、$x_1 = 0$または$y_1 = -\frac{1}{2}$となります。

(i) $x_1 = 0$のとき、$-2x_1^2y_1 + y_1^2 - 4 = 0$より、$y_1^2 = 4$。よって、$y_1 = \pm 2$。

$x_1^2 + y_1^2 = 4$より、$0^2 + (\pm 2)^2 = 4$を満たします。

このとき、$b = y_1 - x_1^2 = y_1 - 0 = \pm 2$。

(ii) $y_1 = -\frac{1}{2}$のとき、$-2x_1^2(-\frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2})^2 - 4 = 0$より、$x_1^2 + \frac{1}{4} - 4 = 0$。$x_1^2 = \frac{15}{4}$。$x_1 = \pm \frac{\sqrt{15}}{2}$。

$x_1^2 + y_1^2 = 4$より、$\frac{15}{4} + \frac{1}{4} = \frac{16}{4} = 4$を満たします。

このとき、$b = y_1 - x_1^2 = -\frac{1}{2} - \frac{15}{4} = -\frac{2}{4} - \frac{15}{4} = -\frac{17}{4}$。

問題文より、$b = y_1 - x_1^2$なので、$b$は定数である必要があります。

$x_1 = 0$の場合、接線はPの頂点を通らず、適しません。

したがって、$b = -\frac{17}{4}$。

3. 最終的な答え

ス：①

セ：0

エ：-1

オカ：7

ケコサ：4

シ：