サイコロを3回投げたとき、出た目の積が3の倍数になる確率と6の倍数になる確率をそれぞれ求める問題です。

1. 問題の内容

サイコロを3回投げたとき、出た目の積が3の倍数になる確率と6の倍数になる確率をそれぞれ求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 3の倍数になる確率

まず、全ての目の出方は$6^3 = 216$通りです。

3の倍数にならない確率を求め、全体から引くことで3の倍数になる確率を求めます。

3の倍数でない目は1, 2, 4, 5の4つです。

3回とも3の倍数でない確率は、$\frac{4}{6} \times \frac{4}{6} \times \frac{4}{6} = \frac{64}{216} = \frac{8}{27}$です。

したがって、3の倍数になる確率は、

$1 - \frac{8}{27} = \frac{27 - 8}{27} = \frac{19}{27}$

(2) 6の倍数になる確率

まず、6の倍数になる条件は、積が2の倍数かつ3の倍数になることです。

全体の積から、2の倍数でない場合、3の倍数でない場合、2の倍数でなく3の倍数でない場合を引くことを考えます。

3の倍数になる確率は、すでに求めた$\frac{19}{27}$です。

2の倍数にならない（奇数）確率は$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$です。よって2の倍数になる確率は$1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$。

2の倍数でなく3の倍数でない確率を求めます。

2の倍数でないのは1, 3, 5の３つ。

3の倍数でないのは1, 2, 4, 5の４つ。

両方満たすのは1, 5の2つ。

3回とも2の倍数でなく、3の倍数でない確率は $(\frac{2}{6})^3 = \frac{8}{216} = \frac{1}{27}$

6の倍数にならない確率は、

2の倍数でない確率 + 3の倍数でない確率 - (2の倍数でなく3の倍数でもない確率)

$= \frac{1}{8} + \frac{8}{27} - \frac{1}{27} = \frac{1}{8} + \frac{7}{27} = \frac{27 + 56}{216} = \frac{83}{216}$

したがって、6の倍数になる確率は、

$1 - \frac{83}{216} = \frac{216 - 83}{216} = \frac{133}{216}$

3. 最終的な答え

3の倍数になる確率は$\frac{19}{27}$

6の倍数になる確率は$\frac{133}{216}$