4つの頂点を持つ図形があり、各頂点は確率 $\frac{1}{3}$ で赤、黄、緑のいずれかの色で独立に点灯します。各辺は、その両端の頂点の色が一致すればその色で点灯し、一致しなければ青色で点灯します。 (1) 辺ABと辺CDがともに青になる確率を求めます。 (2) 辺ABと辺CDが異なる色になる確率を求めます。 (3) 4つの辺の色がすべて青になる確率を求めます。

1. 問題の内容

4つの頂点を持つ図形があり、各頂点は確率 $\frac{1}{3}$ で赤、黄、緑のいずれかの色で独立に点灯します。各辺は、その両端の頂点の色が一致すればその色で点灯し、一致しなければ青色で点灯します。

(1) 辺ABと辺CDがともに青になる確率を求めます。

(2) 辺ABと辺CDが異なる色になる確率を求めます。

(3) 4つの辺の色がすべて青になる確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 辺ABが青になるのは、頂点Aと頂点Bの色が異なる場合です。AとBの色が異なる確率は、$1 -$（AとBの色が同じ確率）です。AとBの色が同じ確率は、Aの色が赤、黄、緑のいずれかであり、そのそれぞれに対してBの色がAと同じになる確率が $\frac{1}{3}$ なので、$\frac{1}{3}$ です。よって、AとBの色が異なる確率は、$1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ です。同様に、辺CDが青になる確率は $\frac{2}{3}$ です。A, B, C, D の色は独立に決まるので、辺ABと辺CDがともに青になる確率は、それぞれの確率の積で $\frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$ です。

(2) 辺ABと辺CDが異なる色になるのは、(i) ABが青でCDが青でない、(ii) ABが青でなくCDが青、(iii) ABとCDが異なる色で青でない、のいずれかの場合です。

(i) ABが青になる確率は $\frac{2}{3}$ で、CDが青でない確率は $1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ です。この確率は $\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$ です。

(ii) ABが青でない確率は $\frac{1}{3}$ で、CDが青になる確率は $\frac{2}{3}$ です。この確率は $\frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$ です。

(iii) ABが青でないかつCDが青でない確率は、ABが青でない確率 $\frac{1}{3}$ とCDが青でない確率 $\frac{1}{3}$ の積で $\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$ です。この時、ABとCDが異なる色になる確率を求めます。ABの色とCDの色はそれぞれ赤、黄、緑のいずれかです。ABとCDが同じ色である確率は $\frac{1}{3}$ なので、異なる色である確率は $\frac{2}{3}$ です。したがって、ABとCDが青でなく、かつ異なる色である確率は $\frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{27}$ です。

求める確率は、(i) + (ii) + (iii) = $\frac{2}{9} + \frac{2}{9} + \frac{2}{27} = \frac{6}{27} + \frac{6}{27} + \frac{2}{27} = \frac{14}{27}$ です。

(3) 4つの辺がすべて青になるのは、各辺の両端の頂点の色が異なる場合です。各辺が青になる確率は $\frac{2}{3}$ なので、4つの辺がすべて青になる確率は $(\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{9}$

(2) $\frac{14}{27}$

(3) $\frac{16}{81}$