自然数 $m, n$ に関する条件 $p, q, r$ が与えられている。 $p: m > 4$ または $n > 4$ $q: mn > 4$ $r: mn > 4^2 = 16$ (1) $p$ の否定 $\overline{p}$ を求める。 (2) $p$ は $q$ であるための何条件か、および $p$ は $r$ であるための何条件かを判定する。

1. 問題の内容

自然数 $m, n$ に関する条件 $p, q, r$ が与えられている。

$p: m > 4$ または $n > 4$

$q: mn > 4$

$r: mn > 4^2 = 16$

(1) $p$ の否定 $\overline{p}$ を求める。

(2) $p$ は $q$ であるための何条件か、および $p$ は $r$ であるための何条件かを判定する。

2. 解き方の手順

(1) $p$ の否定 $\overline{p}$ を求める。$p$ が「$m > 4$ または $n > 4$」なので、その否定は「$m \le 4$ かつ $n \le 4$」となる。選択肢の中では③がこれに該当する。

(2) $p$ は $q$ であるための何条件か。

$p: m > 4$ または $n > 4$

$q: mn > 4$

$p \Rightarrow q$ は真ではない。例えば、$m=5, n=1$ ならば、$p$ は真だが、$q$ は $5 > 4$ で真となる。しかし、$m = 1, n = 5$ でも、$p$ は真であり、$q$ は $5 > 4$ で真である。$m=1, n=1$のとき、$p$は偽であり、$q$は$1>4$で偽。

$q \Rightarrow p$ は真ではない。例えば、$m = 1, n = 5$ ならば、$q$ は真だが、$m \le 4$ かつ $n \le 4$は偽なので、$p$は真。しかし、$m=2, n=2$のとき、$q$は$4>4$で偽であり、$p$は$2>4$または$2>4$で偽。

したがって、$p$ は $q$ であるための必要条件でも十分条件でもない。必要十分条件でもない。

$p$ は $r$ であるための何条件か。

$p: m > 4$ または $n > 4$

$r: mn > 16$

$p \Rightarrow r$ は偽。反例: $m=5, n=1$. $p$は真だが、$r$は偽。

$r \Rightarrow p$ は真。もし$mn>16$ならば、$m>4$または$n>4$が成り立つ。なぜなら、$m \le 4$かつ$n \le 4$ならば、$mn \le 16$となるからである。

したがって、$p$ は $r$ であるための必要条件。

3. 最終的な答え

1: ③

2: 必要条件でも十分条件でもない

3: 必要条件