(1) 1から12までの数字が書かれた12枚のカードから1枚引いたとき、そのカードが3の倍数である確率を求める。 (2) 1から12までの数字が書かれた12枚のカードから3枚を同時に引いたとき、1または2のカードが含まれている確率を求める。

## 問題の解答

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1. 問題の内容

1. **確率の問題**

(1) 1から12までの数字が書かれた12枚のカードから1枚引いたとき、そのカードが3の倍数である確率を求める。

(2) 1から12までの数字が書かれた12枚のカードから3枚を同時に引いたとき、1または2のカードが含まれている確率を求める。

2. **組み合わせの問題**

(1) 大人3人と子供6人の合計9人を、3人ずつの3組に分ける方法の数を求める。

(2) 大人3人と子供6人の合計9人を、大人1人と子供2人の3人ずつの3組に分ける方法の数を求める。

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2. 解き方の手順

1. **確率の問題**

(1) 3の倍数は3, 6, 9, 12の4つ。よって、確率は

$4/12 = 1/3$

(2) 全てのカードの組み合わせは${}_{12}C_3$ 通り。

$1$または$2$のカードが含まれていない組み合わせは、$3$から$12$までの10枚から3枚を選ぶ${}_{10}C_3$ 通り。

よって、$1$または$2$のカードが含まれている組み合わせは、

${}_{12}C_3 - {}_{10}C_3$ 通り。

求める確率は、

$\frac{{}_{12}C_3 - {}_{10}C_3}{{}_{12}C_3} = \frac{\frac{12\times11\times10}{3\times2\times1} - \frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}}{\frac{12\times11\times10}{3\times2\times1}} = \frac{220-120}{220} = \frac{100}{220} = \frac{5}{11}$

2. **組み合わせの問題**

(1) まず、9人から3人を選び、次に残りの6人から3人を選び、最後に残りの3人を選ぶ。

その選び方は${}_{9}C_3 \times {}_{6}C_3 \times {}_{3}C_3$ 通り。

しかし、3つの組に区別はないので、3!で割る必要がある。

$\frac{{}_{9}C_3 \times {}_{6}C_3 \times {}_{3}C_3}{3!} = \frac{\frac{9\times8\times7}{3\times2\times1} \times \frac{6\times5\times4}{3\times2\times1} \times 1}{3\times2\times1} = \frac{84 \times 20}{6} = 28 \times 10 = 280$

(2) まず、3人の大人を3つの組に1人ずつ割り振る方法は3!通り。

次に、6人の子供をそれぞれの組に2人ずつ割り振る方法を考える。

6人から2人を選び、残りの4人から2人を選び、最後に残りの2人を選ぶ。

その選び方は${}_{6}C_2 \times {}_{4}C_2 \times {}_{2}C_2$ 通り。

3つの組に区別はないので、3!で割る必要がある。

$\frac{{}_{6}C_2 \times {}_{4}C_2 \times {}_{2}C_2}{3!} = \frac{\frac{6\times5}{2\times1} \times \frac{4\times3}{2\times1} \times 1}{3\times2\times1} = \frac{15 \times 6}{6} = 15$

よって、求める場合の数は $3! \times \frac{{}_{6}C_2 \times {}_{4}C_2 \times {}_{2}C_2}{3!} = 6 \times 15 = 90$

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3. 最終的な答え

1. **確率の問題**

(1) 1/3

(2) 5/11

2. **組み合わせの問題**

(1) 280通り

(2) 90通り