4. トランプのジョーカーを除く52枚のカードをよくきって、1枚引いてマークを調べてからもとに戻す。これを4回繰り返す。 (1) ハートのカードを3回以上引く確率を求めよ。 (2) クローバーのカードを少なくとも1回引く確率を求めよ。 (3) スペードのカードを取り出す枚数の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

4. トランプのジョーカーを除く52枚のカードをよくきって、1枚引いてマークを調べてからもとに戻す。これを4回繰り返す。

(1) ハートのカードを3回以上引く確率を求めよ。

(2) クローバーのカードを少なくとも1回引く確率を求めよ。

(3) スペードのカードを取り出す枚数の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ハートのカードを3回以上引く確率

1回の試行でハートを引く確率は $1/4$ である。4回の試行で3回以上ハートを引く確率は、3回引く確率と4回引く確率の和で計算できる。

3回引く確率: $_4C_3 (1/4)^3 (3/4)^1 = 4 \times (1/64) \times (3/4) = 12/256$

4回引く確率: $_4C_4 (1/4)^4 (3/4)^0 = 1 \times (1/256) \times 1 = 1/256$

したがって、3回以上引く確率は $(12/256) + (1/256) = 13/256$

(2) クローバーのカードを少なくとも1回引く確率

1回の試行でクローバーを引く確率は $1/4$ である。少なくとも1回引くということは、全く引かない確率を1から引けば求められる。

全く引かない確率: $(3/4)^4 = 81/256$

したがって、少なくとも1回引く確率は $1 - (81/256) = 175/256$

(3) スペードのカードを取り出す枚数の期待値

1回の試行でスペードを引く確率は $1/4$ である。4回の試行なので、期待値は試行回数に確率をかければ求まる。

したがって、期待値は $4 \times (1/4) = 1$

3. 最終的な答え

(1) 13/256

(2) 175/256

(3) 1枚