4人の人をA, B, Cの3つの部屋に分ける方法について、以下の2つのケースの場合の数を求める問題です。 (1) 空き部屋があってもよい場合 (2) 空き部屋がない場合

離散数学組み合わせ場合の数数え上げ分割
2025/7/7

1. 問題の内容

4人の人をA, B, Cの3つの部屋に分ける方法について、以下の2つのケースの場合の数を求める問題です。
(1) 空き部屋があってもよい場合
(2) 空き部屋がない場合

2. 解き方の手順

(1) 空き部屋があってもよい場合
各人はA, B, Cのいずれかの部屋に入る事ができます。つまり、各人は3通りの選択肢があります。4人それぞれが3通りの選択肢を持つので、全部で 3×3×3×3=343 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 通りの分け方があります。
(2) 空き部屋がない場合
まず、全体の場合の数(空き部屋があってもよい場合)から、空き部屋がある場合を引きます。
全体の場合の数は(1)で求めた通り 34=813^4 = 81 通りです。
空き部屋が1つある場合:
どの部屋を空き部屋にするか3通りあります。
残りの2つの部屋に4人を割り振る方法は、242^4 通りです。しかし、これには全員が同じ部屋に入る2通りが含まれています。
したがって、空き部屋が1つの場合は、 3×(242)=3×(162)=3×14=423 \times (2^4 - 2) = 3 \times (16 - 2) = 3 \times 14 = 42 通りです。
空き部屋が2つある場合:
これは、全員が1つの部屋に入る場合です。どの部屋に全員が入るか3通りあります。
空き部屋がない場合は、全体から空き部屋が1つある場合と空き部屋が2つある場合を引きます。
81423=3681 - 42 - 3 = 36 通りです。
別の解法としては、
4人を3つのグループに分ける方法を考えます。
(i) 1人、1人、2人に分ける場合:
4人の中から2人を選ぶ方法は 4C2=6{}_4 C_2 = 6 通り。残りの2人はそれぞれ1人ずつになります。
この3つのグループをA, B, Cの部屋に割り当てる方法は 3!=63! = 6 通り。
したがって、6×6=366 \times 6 = 36 通り。
(ii) グループ分けのパターンはこれしかありません。
よって36通り。

3. 最終的な答え

(1) 空き部屋があってもよい場合:81通り
(2) 空き部屋がない場合:36通り

「離散数学」の関連問題

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ が与えられ、部分集合 $A = \{1, 3, 5, 6, 7, 9\}$ と $B = \{2, 3, 4, 5, ...

集合集合演算共通部分補集合
2025/7/10

問題は、集合に関する基本的な問題です。具体的には、全体集合が与えられたときの部分集合(3の倍数の集合、12の約数の集合)、補集合の計算、2つの集合の共通部分と和集合の計算、そして命題の真偽判定とその反...

集合部分集合補集合共通部分和集合命題真偽
2025/7/10

順列 ${}_8P_4$ から組合せ ${}_8C_4$ を引いた値を計算する問題です。つまり、${}_8P_4 - {}_8C_4$ を求めることになります。

順列組合せ組み合わせ
2025/7/10

先生2人と生徒3人が1列に並ぶ場合の並び方について、以下の4つの場合について場合の数を求める問題です。 (1) 全ての並び方 (2) 生徒3人が連続して並ぶ並び方 (3) 両端が生徒である並び方 (4...

順列組み合わせ場合の数数え上げ
2025/7/10

大人3人と子供3人が輪になって並ぶ場合の数を求める問題です。 (1) 全ての並び方を求めます。 (2) 大人と子供が交互に並ぶ並び方を求めます。

順列組み合わせ円順列
2025/7/9

無限集合 $X$ の部分集合 $A$ について、以下の2つの命題が正しいか否かを判断し、正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げる。 (1) $A$ が有限集合ならば、$X-A$ は $X$ と対等...

集合論無限集合対等全単射証明反例
2025/7/9

男子4人と女子4人が手をつないで円を作るとき、次の問いに答えます。 (1) 円の作り方は全部で何通りあるか。 (2) 男子と女子が交互になる円の作り方は何通りあるか。 (3) 男子の太郎君と次郎君が向...

円順列順列組み合わせ場合の数
2025/7/9

図のような道のある町で、AからBまでの最短経路の総数、Qを通る最短経路の総数、PまたはQを通る最短経路の総数をそれぞれ求める問題です。

組み合わせ最短経路順列
2025/7/9

「KAWAGOE」の7文字を1列に並べる場合の数を求める問題です。ただし、Aが2つあるので、同じものを含む順列の考え方を使います。

順列組み合わせ場合の数重複順列
2025/7/9

正六角形を6個の正三角形に分割し、各三角形を異なる色で塗り分ける問題です。ただし、回転して一致する塗り方は同じものとみなします。 (1) 6色すべてを使って塗り分ける方法の数を求めます。 (2) 6色...

組み合わせ場合の数順列円順列正多角形
2025/7/9