4人の人をA, B, Cの3つの部屋に分ける方法について、以下の2つのケースの場合の数を求める問題です。 (1) 空き部屋があってもよい場合 (2) 空き部屋がない場合

1. 問題の内容

4人の人をA, B, Cの3つの部屋に分ける方法について、以下の2つのケースの場合の数を求める問題です。

(1) 空き部屋があってもよい場合

(2) 空き部屋がない場合

2. 解き方の手順

(1) 空き部屋があってもよい場合

各人はA, B, Cのいずれかの部屋に入る事ができます。つまり、各人は3通りの選択肢があります。4人それぞれが3通りの選択肢を持つので、全部で $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$ 通りの分け方があります。

(2) 空き部屋がない場合

まず、全体の場合の数（空き部屋があってもよい場合）から、空き部屋がある場合を引きます。

全体の場合の数は(1)で求めた通り $3^4 = 81$ 通りです。

空き部屋が1つある場合：

どの部屋を空き部屋にするか3通りあります。

残りの2つの部屋に4人を割り振る方法は、$2^4$ 通りです。しかし、これには全員が同じ部屋に入る2通りが含まれています。

したがって、空き部屋が1つの場合は、 $3 \times (2^4 - 2) = 3 \times (16 - 2) = 3 \times 14 = 42$ 通りです。

空き部屋が2つある場合：

これは、全員が1つの部屋に入る場合です。どの部屋に全員が入るか3通りあります。

空き部屋がない場合は、全体から空き部屋が1つある場合と空き部屋が2つある場合を引きます。

$81 - 42 - 3 = 36$ 通りです。

別の解法としては、

4人を3つのグループに分ける方法を考えます。

(i) 1人、1人、2人に分ける場合:

4人の中から2人を選ぶ方法は ${}_4 C_2 = 6$ 通り。残りの2人はそれぞれ1人ずつになります。

この3つのグループをA, B, Cの部屋に割り当てる方法は $3! = 6$ 通り。

したがって、$6 \times 6 = 36$ 通り。

(ii) グループ分けのパターンはこれしかありません。

よって36通り。

3. 最終的な答え

(1) 空き部屋があってもよい場合：81通り

(2) 空き部屋がない場合：36通り