座標平面において、媒介変数 $t$ を用いて表される曲線 $C$ が、 $x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$ ($0 \le t \le \pi$) で与えられています。曲線 $C$ と $x$ 軸、直線 $x = \pi$ で囲まれた部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

座標平面において、媒介変数 $t$ を用いて表される曲線 $C$ が、

$x = t - \sin t$, $y = 1 - \cos t$ ($0 \le t \le \pi$) で与えられています。曲線 $C$ と $x$ 軸、直線 $x = \pi$ で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

求める面積を $S$ とすると、積分を用いて

$S = \int_{0}^{\pi} y \, dx$ と表すことができます。

$x = t - \sin t$ より、$\frac{dx}{dt} = 1 - \cos t$ なので、$dx = (1 - \cos t) \, dt$ となります。

$x$ が $0$ から $\pi$ まで変化するとき、$t$ は $0$ から $\pi$ まで変化します。

したがって、

$$S = \int_{0}^{\pi} (1 - \cos t) (1 - \cos t) \, dt = \int_{0}^{\pi} (1 - \cos t)^2 \, dt$$

となります。

$(1 - \cos t)^2 = 1 - 2 \cos t + \cos^2 t$ であり、$\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$ なので、

$$S = \int_{0}^{\pi} \left( 1 - 2 \cos t + \frac{1 + \cos 2t}{2} \right) \, dt = \int_{0}^{\pi} \left( \frac{3}{2} - 2 \cos t + \frac{1}{2} \cos 2t \right) \, dt$$

$$= \left[ \frac{3}{2} t - 2 \sin t + \frac{1}{4} \sin 2t \right]_{0}^{\pi} = \left( \frac{3}{2} \pi - 2 \sin \pi + \frac{1}{4} \sin 2\pi \right) - \left( 0 - 2 \sin 0 + \frac{1}{4} \sin 0 \right)$$

$$= \frac{3}{2} \pi - 0 + 0 - (0 - 0 + 0) = \frac{3}{2} \pi$$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2} \pi$