## 問題 5 (1)
1. 問題の内容
4人に宛名を書いて招待状と封筒を用意した。すべての招待状を間違った封筒に入れる方法は何通りあるか。
2. 解き方の手順
これは完全順列の問題です。完全順列の数を求める公式または漸化式を使うことができます。
4人の場合の完全順列の数を とすると、以下の式で計算できます。
ここで、、 です。
別の方法として、包除原理を使うこともできます。
全順列の数:
1人だけ正しい封筒に入れる順列の数: (残りの3人の完全順列はで、)
2人だけ正しい封筒に入れる順列の数:
3人だけ正しい封筒に入れる順列の数: 0
4人とも正しい封筒に入れる順列の数: 1
したがって、
もしくは
3. 最終的な答え
9通り
## 問題 5 (2)
1. 問題の内容
648 の正の約数の個数と、その約数の総和を求めよ。
2. 解き方の手順
まず、648を素因数分解します。
約数の個数は、各素因数の指数のそれぞれに1を足して、それらを掛け合わせたものです。
約数の個数 =
約数の総和は、各素因数について以下の式で求めます。
ここで、 は素因数、 はその指数です。
約数の総和 =
3. 最終的な答え
約数の個数: 20個
約数の総和: 1815
## 問題 6 (1)
1. 問題の内容
"education" の9文字を1列に並べるとき、母音と子音が交互に並ぶ並べ方は何通りあるか。
2. 解き方の手順
"education" の文字の内訳は、
母音: e, u, a, i, o (5個)
子音: d, c, t, n (4個)
母音と子音を交互に並べるためには、母音が最初に来るか、子音が最初に来るかのどちらかになります。
しかし、母音の方が子音よりも1つ多いため、母音が最初に来るしかありません。
したがって、母音と子音の並び方は、
母音-子音-母音-子音-母音-子音-母音-子音-母音
のようになります。
母音5個の並べ方は 通り、子音4個の並べ方は 通りです。
したがって、母音と子音が交互に並ぶ並べ方は 通りです。
3. 最終的な答え
2880通り
## 問題 6 (2)
1. 問題の内容
"education" の9文字を1列に並べるとき、子音が隣り合わない並べ方は何通りあるか。
2. 解き方の手順
まず、母音5個を並べます。これは 通りです。
母音の間と両端に子音を置く場所ができます。
_ e _ u _ a _ i _ o _
アンダーバーで示した6つの場所から4つを選んで子音を並べます。
場所の選び方は 通りです。
選んだ場所に子音を並べる方法は 通りです。
したがって、子音が隣り合わない並べ方は 通りです。
3. 最終的な答え
43200通り