4人に宛名を書いて招待状と封筒を用意した。すべての招待状を間違った封筒に入れる方法は何通りあるか。

## 問題 5 (1)

1. 問題の内容

4人に宛名を書いて招待状と封筒を用意した。すべての招待状を間違った封筒に入れる方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

これは完全順列の問題です。完全順列の数を求める公式または漸化式を使うことができます。

4人の場合の完全順列の数を $D_4$ とすると、以下の式で計算できます。

$D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})$

ここで、$D_1 = 0$、$D_2 = 1$ です。

$D_3 = (3-1)(D_2 + D_1) = 2(1+0) = 2$

$D_4 = (4-1)(D_3 + D_2) = 3(2+1) = 9$

別の方法として、包除原理を使うこともできます。

全順列の数: $4! = 24$

1人だけ正しい封筒に入れる順列の数: ${4 \choose 1} \times 1 \times 2 = 8$ (残りの3人の完全順列は$D_3 = 2$で、$2 = (3-1)(1+0) = 2 \cdot D_1 + 1$)

2人だけ正しい封筒に入れる順列の数: ${4 \choose 2} \times 1 = 6$

3人だけ正しい封筒に入れる順列の数: 0

4人とも正しい封筒に入れる順列の数: 1

したがって、

$D_4 = 4! - {4 \choose 1} 3! + {4 \choose 2} 2! - {4 \choose 3} 1! + {4 \choose 4} 0! = 24 - 4 \cdot 6 + 6 \cdot 1 - 4 \cdot 0 + 1 = 24 - 24 + 6 - 0 = 9$

もしくは

$D_4 = 4! (1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}) = 24 (1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}) = 12 - 4 + 1 = 9$

3. 最終的な答え

9通り

## 問題 5 (2)

1. 問題の内容

648 の正の約数の個数と、その約数の総和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、648を素因数分解します。

$648 = 2^3 \times 3^4$

約数の個数は、各素因数の指数のそれぞれに1を足して、それらを掛け合わせたものです。

約数の個数 = $(3+1)(4+1) = 4 \times 5 = 20$

約数の総和は、各素因数について以下の式で求めます。

$(1 + p + p^2 + ... + p^n)$

ここで、$p$ は素因数、$n$ はその指数です。

約数の総和 = $(1 + 2 + 2^2 + 2^3)(1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4) = (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9 + 27 + 81) = (15)(121) = 1815$

3. 最終的な答え

約数の個数: 20個

約数の総和: 1815

## 問題 6 (1)

1. 問題の内容

"education" の9文字を1列に並べるとき、母音と子音が交互に並ぶ並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

"education" の文字の内訳は、

母音: e, u, a, i, o (5個)

子音: d, c, t, n (4個)

母音と子音を交互に並べるためには、母音が最初に来るか、子音が最初に来るかのどちらかになります。

しかし、母音の方が子音よりも1つ多いため、母音が最初に来るしかありません。

したがって、母音と子音の並び方は、

母音-子音-母音-子音-母音-子音-母音-子音-母音

のようになります。

母音5個の並べ方は $5!$ 通り、子音4個の並べ方は $4!$ 通りです。

したがって、母音と子音が交互に並ぶ並べ方は $5! \times 4! = 120 \times 24 = 2880$ 通りです。

3. 最終的な答え

2880通り

## 問題 6 (2)

1. 問題の内容

"education" の9文字を1列に並べるとき、子音が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、母音5個を並べます。これは $5!$ 通りです。

母音の間と両端に子音を置く場所ができます。

_ e _ u _ a _ i _ o _

アンダーバーで示した6つの場所から4つを選んで子音を並べます。

場所の選び方は ${6 \choose 4}$ 通りです。

選んだ場所に子音を並べる方法は $4!$ 通りです。

したがって、子音が隣り合わない並べ方は $5! \times {6 \choose 4} \times 4! = 120 \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 24 = 120 \times 15 \times 24 = 43200$ 通りです。

3. 最終的な答え

43200通り