4人に宛名を書いて招待状と封筒を用意した。すべての招待状を間違った封筒に入れる方法は何通りあるか。

離散数学順列組み合わせ約数完全順列包除原理素因数分解場合の数
2025/7/7
## 問題 5 (1)

1. 問題の内容

4人に宛名を書いて招待状と封筒を用意した。すべての招待状を間違った封筒に入れる方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

これは完全順列の問題です。完全順列の数を求める公式または漸化式を使うことができます。
4人の場合の完全順列の数を D4D_4 とすると、以下の式で計算できます。
Dn=(n1)(Dn1+Dn2)D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})
ここで、D1=0D_1 = 0D2=1D_2 = 1 です。
D3=(31)(D2+D1)=2(1+0)=2D_3 = (3-1)(D_2 + D_1) = 2(1+0) = 2
D4=(41)(D3+D2)=3(2+1)=9D_4 = (4-1)(D_3 + D_2) = 3(2+1) = 9
別の方法として、包除原理を使うこともできます。
全順列の数: 4!=244! = 24
1人だけ正しい封筒に入れる順列の数: (41)×1×2=8{4 \choose 1} \times 1 \times 2 = 8 (残りの3人の完全順列はD3=2D_3 = 2で、2=(31)(1+0)=2D1+12 = (3-1)(1+0) = 2 \cdot D_1 + 1)
2人だけ正しい封筒に入れる順列の数: (42)×1=6{4 \choose 2} \times 1 = 6
3人だけ正しい封筒に入れる順列の数: 0
4人とも正しい封筒に入れる順列の数: 1
したがって、
D4=4!(41)3!+(42)2!(43)1!+(44)0!=2446+6140+1=2424+60=9D_4 = 4! - {4 \choose 1} 3! + {4 \choose 2} 2! - {4 \choose 3} 1! + {4 \choose 4} 0! = 24 - 4 \cdot 6 + 6 \cdot 1 - 4 \cdot 0 + 1 = 24 - 24 + 6 - 0 = 9
もしくは
D4=4!(111!+12!13!+14!)=24(11+1216+124)=124+1=9D_4 = 4! (1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}) = 24 (1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}) = 12 - 4 + 1 = 9

3. 最終的な答え

9通り
## 問題 5 (2)

1. 問題の内容

648 の正の約数の個数と、その約数の総和を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、648を素因数分解します。
648=23×34648 = 2^3 \times 3^4
約数の個数は、各素因数の指数のそれぞれに1を足して、それらを掛け合わせたものです。
約数の個数 = (3+1)(4+1)=4×5=20(3+1)(4+1) = 4 \times 5 = 20
約数の総和は、各素因数について以下の式で求めます。
(1+p+p2+...+pn)(1 + p + p^2 + ... + p^n)
ここで、pp は素因数、nn はその指数です。
約数の総和 = (1+2+22+23)(1+3+32+33+34)=(1+2+4+8)(1+3+9+27+81)=(15)(121)=1815(1 + 2 + 2^2 + 2^3)(1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4) = (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9 + 27 + 81) = (15)(121) = 1815

3. 最終的な答え

約数の個数: 20個
約数の総和: 1815
## 問題 6 (1)

1. 問題の内容

"education" の9文字を1列に並べるとき、母音と子音が交互に並ぶ並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

"education" の文字の内訳は、
母音: e, u, a, i, o (5個)
子音: d, c, t, n (4個)
母音と子音を交互に並べるためには、母音が最初に来るか、子音が最初に来るかのどちらかになります。
しかし、母音の方が子音よりも1つ多いため、母音が最初に来るしかありません。
したがって、母音と子音の並び方は、
母音-子音-母音-子音-母音-子音-母音-子音-母音
のようになります。
母音5個の並べ方は 5!5! 通り、子音4個の並べ方は 4!4! 通りです。
したがって、母音と子音が交互に並ぶ並べ方は 5!×4!=120×24=28805! \times 4! = 120 \times 24 = 2880 通りです。

3. 最終的な答え

2880通り
## 問題 6 (2)

1. 問題の内容

"education" の9文字を1列に並べるとき、子音が隣り合わない並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、母音5個を並べます。これは 5!5! 通りです。
母音の間と両端に子音を置く場所ができます。
_ e _ u _ a _ i _ o _
アンダーバーで示した6つの場所から4つを選んで子音を並べます。
場所の選び方は (64){6 \choose 4} 通りです。
選んだ場所に子音を並べる方法は 4!4! 通りです。
したがって、子音が隣り合わない並べ方は 5!×(64)×4!=120×6×52×1×24=120×15×24=432005! \times {6 \choose 4} \times 4! = 120 \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times 24 = 120 \times 15 \times 24 = 43200 通りです。

3. 最終的な答え

43200通り

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