曲線 $y = x^3 - 4x$ と $x$ 軸によって囲まれる部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 4x$ と $x$ 軸によって囲まれる部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = x^3 - 4x$ と $x$ 軸との交点を求めます。これは、$y = 0$ となる $x$ の値を求めることと同じです。

$x^3 - 4x = 0$

$x(x^2 - 4) = 0$

$x(x - 2)(x + 2) = 0$

したがって、$x = -2, 0, 2$ が交点の $x$ 座標です。

次に、積分を用いて面積を計算します。$x$ 軸より上の部分と下の部分があるので、絶対値をつけて積分します。

$x = -2$ から $x = 0$ の区間では、$y = x^3 - 4x$ は $x$ 軸より上にあります。

$x = 0$ から $x = 2$ の区間では、$y = x^3 - 4x$ は $x$ 軸より下にあります。

したがって、求める面積 $S$ は、

$S = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) dx + \left| \int_{0}^{2} (x^3 - 4x) dx \right|$

まず、$x^3 - 4x$ の不定積分を計算します。

$\int (x^3 - 4x) dx = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 \right]_{-2}^{0} = (0 - 0) - (\frac{1}{4}(-2)^4 - 2(-2)^2) = - (4 - 8) = 4$

$\int_{0}^{2} (x^3 - 4x) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 \right]_{0}^{2} = (\frac{1}{4}(2)^4 - 2(2)^2) - (0 - 0) = (4 - 8) = -4$

したがって、

$S = 4 + |-4| = 4 + 4 = 8$

3. 最終的な答え

8