数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{2a_n + 3}$ (n = 1, 2, 3, ...) で定義されている。 (1) $|a_{n+1} - 3| < \frac{2}{3} |a_n - 3|$ が成り立つことを示す。 (2) $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{2a_n + 3}$ (n = 1, 2, 3, ...) で定義されている。

(1) $|a_{n+1} - 3| < \frac{2}{3} |a_n - 3|$ が成り立つことを示す。

(2) $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a_n$ が正の数であることから、$a_{n+1} = \sqrt{2a_n + 3} > 0$ である。

次に、$a_{n+1} - 3 = \sqrt{2a_n + 3} - 3$ を変形する。

$a_{n+1} - 3 = \frac{(\sqrt{2a_n + 3} - 3)(\sqrt{2a_n + 3} + 3)}{\sqrt{2a_n + 3} + 3} = \frac{2a_n + 3 - 9}{\sqrt{2a_n + 3} + 3} = \frac{2(a_n - 3)}{\sqrt{2a_n + 3} + 3}$

したがって、

$|a_{n+1} - 3| = \left| \frac{2(a_n - 3)}{\sqrt{2a_n + 3} + 3} \right| = \frac{2}{\sqrt{2a_n + 3} + 3} |a_n - 3|$

ここで、$a_n > 0$ なので、$\sqrt{2a_n + 3} + 3 > \sqrt{3} + 3 > 3$ が成り立つ。

よって、$\frac{2}{\sqrt{2a_n + 3} + 3} < \frac{2}{3}$ となる。

したがって、$|a_{n+1} - 3| < \frac{2}{3} |a_n - 3|$ が成り立つ。

(2)

(1)より、$|a_{n+1} - 3| < \frac{2}{3} |a_n - 3|$ なので、

$|a_n - 3| < \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1} |a_1 - 3|$ が成り立つ。

$a_1 = 1$ より、$|a_1 - 3| = |1 - 3| = 2$ である。

したがって、$|a_n - 3| < 2 \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1}$ となる。

$n \to \infty$ のとき、$\left( \frac{2}{3} \right)^{n-1} \to 0$ なので、$|a_n - 3| \to 0$ となる。

よって、$a_n \to 3$ である。

3. 最終的な答え

(1) $|a_{n+1} - 3| < \frac{2}{3} |a_n - 3|$ が成り立つ。

(2) $\lim_{n \to \infty} a_n = 3$