神大生の交際費（飲み会）の月平均回数 $μ$ を知りたい。10名をランダムに選びデータを集めたところ、標本平均 $\bar{x} = 12.8$ (回)、標本分散 $s^2 = 18.4$ を得た。このとき、$μ$ の95%信頼区間を求めなさい。ただし、各サンプルは同一の正規分布に従うとする。

1. 問題の内容

神大生の交際費（飲み会）の月平均回数 $μ$ を知りたい。10名をランダムに選びデータを集めたところ、標本平均 $\bar{x} = 12.8$ (回)、標本分散 $s^2 = 18.4$ を得た。このとき、$μ$ の95%信頼区間を求めなさい。ただし、各サンプルは同一の正規分布に従うとする。

2. 解き方の手順

母分散が未知であるため、$t$分布を用いて信頼区間を推定する。

標本サイズ $n = 10$, 標本平均 $\bar{x} = 12.8$, 標本分散 $s^2 = 18.4$ である。

まず、不偏分散 $s'^2$ を計算する。

$s'^2 = \frac{n}{n-1}s^2 = \frac{10}{9} \times 18.4 = \frac{184}{9} \approx 20.44$

次に、標準誤差 $SE$ を計算する。

$SE = \frac{s'}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{s'^2}}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{184/9}}{\sqrt{10}} = \sqrt{\frac{184}{90}} = \sqrt{\frac{92}{45}} \approx \sqrt{2.044} \approx 1.43$

自由度 $df = n-1 = 10-1 = 9$ の$t$分布における95%信頼区間の$t$値を求める。

$t_{0.025, 9} \approx 2.262$ （$t$分布表から）

信頼区間の下限は $\bar{x} - t_{0.025, 9} \times SE$ で、上限は $\bar{x} + t_{0.025, 9} \times SE$ で計算される。

下限: $12.8 - 2.262 \times 1.43 = 12.8 - 3.235 \approx 9.565$

上限: $12.8 + 2.262 \times 1.43 = 12.8 + 3.235 \approx 16.035$

3. 最終的な答え

$μ$ の95%信頼区間は (9.565, 16.035) である。