a, b, c, d, e, f の6文字を全て使ってできる順列を、abcdefを1番目として辞書式順序で並べたとき、fbcdaeは何番目か。

1. 問題の内容

a, b, c, d, e, f の6文字を全て使ってできる順列を、abcdefを1番目として辞書式順序で並べたとき、fbcdaeは何番目か。

2. 解き方の手順

与えられた文字 a, b, c, d, e, f を辞書式順序で並べたときに、fbcdae が何番目になるかを考えます。

まず、先頭の文字から順に、fbcdae より辞書式順序で前のものを数えます。

* 先頭が a のとき：残りの5文字の並べ方は $5! = 120$ 通り。

* 先頭が b のとき：残りの5文字の並べ方は $5! = 120$ 通り。

* 先頭が c のとき：残りの5文字の並べ方は $5! = 120$ 通り。

* 先頭が d のとき：残りの5文字の並べ方は $5! = 120$ 通り。

* 先頭が e のとき：残りの5文字の並べ方は $5! = 120$ 通り。

次に、先頭が f の場合を考えます。

* 先頭が f で、2番目が a のとき：残りの4文字の並べ方は $4! = 24$ 通り。

* 先頭が f で、2番目が b のとき：

* 先頭が fb で、3番目が a のとき：残りの3文字の並べ方は $3! = 6$ 通り。

* 先頭が fb で、3番目が c のとき：

* 先頭が fbc で、4番目が a のとき：残りの2文字の並べ方は $2! = 2$ 通り。

* 先頭が fbc で、4番目が d のとき：

* 先頭が fbcd で、5番目が a のとき：残りの1文字は e なので、1通り。

ここまでで fbcdae より辞書式順序で前のものは数え終わった。

したがって、fbcdae より辞書式順序で前のものの総数は、

$5 \times 5! + 1 \times 4! + 1 \times (3! + 2! + 1!) = 5 \times 120 + 24 + 6 + 2 + 1 = 600 + 24 + 6 + 2 + 1 = 633$ 通り。

fbcdae は 633 + 1 = 634 番目。

3. 最終的な答え

634番目