a, b, c, d, e, f の6文字を全て使ってできる順列を、abcdefを1番目として辞書式順序で並べたとき、fbcdaeは何番目か。

離散数学順列辞書式順序組み合わせ
2025/7/7

1. 問題の内容

a, b, c, d, e, f の6文字を全て使ってできる順列を、abcdefを1番目として辞書式順序で並べたとき、fbcdaeは何番目か。

2. 解き方の手順

与えられた文字 a, b, c, d, e, f を辞書式順序で並べたときに、fbcdae が何番目になるかを考えます。
まず、先頭の文字から順に、fbcdae より辞書式順序で前のものを数えます。
* 先頭が a のとき:残りの5文字の並べ方は 5!=1205! = 120 通り。
* 先頭が b のとき:残りの5文字の並べ方は 5!=1205! = 120 通り。
* 先頭が c のとき:残りの5文字の並べ方は 5!=1205! = 120 通り。
* 先頭が d のとき:残りの5文字の並べ方は 5!=1205! = 120 通り。
* 先頭が e のとき:残りの5文字の並べ方は 5!=1205! = 120 通り。
次に、先頭が f の場合を考えます。
* 先頭が f で、2番目が a のとき:残りの4文字の並べ方は 4!=244! = 24 通り。
* 先頭が f で、2番目が b のとき:
* 先頭が fb で、3番目が a のとき:残りの3文字の並べ方は 3!=63! = 6 通り。
* 先頭が fb で、3番目が c のとき:
* 先頭が fbc で、4番目が a のとき:残りの2文字の並べ方は 2!=22! = 2 通り。
* 先頭が fbc で、4番目が d のとき:
* 先頭が fbcd で、5番目が a のとき:残りの1文字は e なので、1通り。
ここまでで fbcdae より辞書式順序で前のものは数え終わった。
したがって、fbcdae より辞書式順序で前のものの総数は、
5×5!+1×4!+1×(3!+2!+1!)=5×120+24+6+2+1=600+24+6+2+1=6335 \times 5! + 1 \times 4! + 1 \times (3! + 2! + 1!) = 5 \times 120 + 24 + 6 + 2 + 1 = 600 + 24 + 6 + 2 + 1 = 633 通り。
fbcdae は 633 + 1 = 634 番目。

3. 最終的な答え

634番目

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