a,b,c,d,e,fの6文字を全て使ってできる順列を、abcdefを1番目として辞書式に並べたとき、fbcdaeは何番目かを求める問題です。

離散数学順列辞書式順序場合の数
2025/7/7

1. 問題の内容

a,b,c,d,e,fの6文字を全て使ってできる順列を、abcdefを1番目として辞書式に並べたとき、fbcdaeは何番目かを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた文字 a,b,c,d,e,fa, b, c, d, e, f をアルファベット順に並べたものを基準とします。
求める順列 fbcdae が何番目かを調べます。

1. 最初の文字に着目します。

fbcdae より前に来る順列は、最初の文字がa, b, c, d, eのいずれかであるものです。
最初の文字がaの場合、残りの5文字の順列は 5!=1205! = 120 通りです。
同様に、最初の文字がb, c, d, eの場合も、それぞれ 5!=1205! = 120 通りです。
したがって、最初の文字がfより前の順列は、 5!×5=120×5=6005! \times 5 = 120 \times 5 = 600 通りです。

2. 2番目の文字に着目します。

最初の文字がfである場合、fbcdaeよりも前に来る順列は、2番目の文字がa, bのいずれかであるものです。
最初の文字がfで、2番目の文字がaの場合、残りの4文字の順列は 4!=244! = 24 通りです。
最初の文字がfで、2番目の文字がbの場合、残りの4文字の順列は 4!=244! = 24 通りです。
したがって、最初の文字がfで、2番目の文字がcより前の順列は 4!×2=24×2=484! \times 2 = 24 \times 2 = 48 通りです。

3. 3番目の文字に着目します。

最初の文字がfで、2番目の文字がbである場合、fbcdaeよりも前に来る順列は、3番目の文字がa, cのいずれかであるものです。
最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がaの場合、残りの3文字の順列は 3!=63! = 6 通りです。
最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がcの場合、残りの3文字の順列は 3!=63! = 6 通りです。
したがって、最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がdより前の順列は 3!×2=6×2=123! \times 2 = 6 \times 2 = 12 通りです。

4. 4番目の文字に着目します。

最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がcである場合、fbcdaeよりも前に来る順列は、4番目の文字がa, dのいずれかであるものです。
最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がcで、4番目の文字がaの場合、残りの2文字の順列は 2!=22! = 2 通りです。
最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がcで、4番目の文字がdの場合、残りの2文字の順列は 2!=22! = 2 通りです。
したがって、最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がcで、4番目の文字がdより前の順列は 2!×2=2×1=12! \times 2 = 2 \times 1 = 1 通りです。

5. 5番目の文字に着目します。

最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がcで、4番目の文字がdである場合、fbcdaeよりも前に来る順列は、5番目の文字がaのものです。
このとき、最後の文字はeとなります。つまり、fbcdaeよりも前に来る順列は 1!=11! = 1 通りです。
以上より、fbcdaeよりも前に来る順列の総数は、 600+48+12+2+0=662600 + 48 + 12 + 2 + 0 = 662 通りです。
したがって、fbcdaeは 662+1=663662 + 1 = 663 番目になります。

3. 最終的な答え

663番目

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