a,b,c,d,e,fの6文字を全て使ってできる順列を、abcdefを1番目として辞書式に並べたとき、fbcdaeは何番目かを求める問題です。

1. 問題の内容

a,b,c,d,e,fの6文字を全て使ってできる順列を、abcdefを1番目として辞書式に並べたとき、fbcdaeは何番目かを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた文字 $a, b, c, d, e, f$ をアルファベット順に並べたものを基準とします。

求める順列 fbcdae が何番目かを調べます。

1. 最初の文字に着目します。

fbcdae より前に来る順列は、最初の文字がa, b, c, d, eのいずれかであるものです。

最初の文字がaの場合、残りの5文字の順列は $5! = 120$ 通りです。

同様に、最初の文字がb, c, d, eの場合も、それぞれ $5! = 120$ 通りです。

したがって、最初の文字がfより前の順列は、 $5! \times 5 = 120 \times 5 = 600$ 通りです。

2. 2番目の文字に着目します。

最初の文字がfである場合、fbcdaeよりも前に来る順列は、2番目の文字がa, bのいずれかであるものです。

最初の文字がfで、2番目の文字がaの場合、残りの4文字の順列は $4! = 24$ 通りです。

最初の文字がfで、2番目の文字がbの場合、残りの4文字の順列は $4! = 24$ 通りです。

したがって、最初の文字がfで、2番目の文字がcより前の順列は $4! \times 2 = 24 \times 2 = 48$ 通りです。

3. 3番目の文字に着目します。

最初の文字がfで、2番目の文字がbである場合、fbcdaeよりも前に来る順列は、3番目の文字がa, cのいずれかであるものです。

最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がaの場合、残りの3文字の順列は $3! = 6$ 通りです。

最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がcの場合、残りの3文字の順列は $3! = 6$ 通りです。

したがって、最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がdより前の順列は $3! \times 2 = 6 \times 2 = 12$ 通りです。

4. 4番目の文字に着目します。

最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がcである場合、fbcdaeよりも前に来る順列は、4番目の文字がa, dのいずれかであるものです。

最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がcで、4番目の文字がaの場合、残りの2文字の順列は $2! = 2$ 通りです。

最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がcで、4番目の文字がdの場合、残りの2文字の順列は $2! = 2$ 通りです。

したがって、最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がcで、4番目の文字がdより前の順列は $2! \times 2 = 2 \times 1 = 1$通りです。

5. 5番目の文字に着目します。

最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がcで、4番目の文字がdである場合、fbcdaeよりも前に来る順列は、5番目の文字がaのものです。

このとき、最後の文字はeとなります。つまり、fbcdaeよりも前に来る順列は $1! = 1$ 通りです。

以上より、fbcdaeよりも前に来る順列の総数は、 $600 + 48 + 12 + 2 + 0 = 662$ 通りです。

したがって、fbcdaeは $662 + 1 = 663$ 番目になります。

3. 最終的な答え

663番目