1. 問題の内容
a,b,c,d,e,fの6文字を全て使ってできる順列を、abcdefを1番目として辞書式に並べたとき、fbcdaeは何番目かを求める問題です。
2. 解き方の手順
まず、与えられた文字 をアルファベット順に並べたものを基準とします。
求める順列 fbcdae が何番目かを調べます。
1. 最初の文字に着目します。
fbcdae より前に来る順列は、最初の文字がa, b, c, d, eのいずれかであるものです。
最初の文字がaの場合、残りの5文字の順列は 通りです。
同様に、最初の文字がb, c, d, eの場合も、それぞれ 通りです。
したがって、最初の文字がfより前の順列は、 通りです。
2. 2番目の文字に着目します。
最初の文字がfである場合、fbcdaeよりも前に来る順列は、2番目の文字がa, bのいずれかであるものです。
最初の文字がfで、2番目の文字がaの場合、残りの4文字の順列は 通りです。
最初の文字がfで、2番目の文字がbの場合、残りの4文字の順列は 通りです。
したがって、最初の文字がfで、2番目の文字がcより前の順列は 通りです。
3. 3番目の文字に着目します。
最初の文字がfで、2番目の文字がbである場合、fbcdaeよりも前に来る順列は、3番目の文字がa, cのいずれかであるものです。
最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がaの場合、残りの3文字の順列は 通りです。
最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がcの場合、残りの3文字の順列は 通りです。
したがって、最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がdより前の順列は 通りです。
4. 4番目の文字に着目します。
最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がcである場合、fbcdaeよりも前に来る順列は、4番目の文字がa, dのいずれかであるものです。
最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がcで、4番目の文字がaの場合、残りの2文字の順列は 通りです。
最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がcで、4番目の文字がdの場合、残りの2文字の順列は 通りです。
したがって、最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がcで、4番目の文字がdより前の順列は 通りです。
5. 5番目の文字に着目します。
最初の文字がfで、2番目の文字がbで、3番目の文字がcで、4番目の文字がdである場合、fbcdaeよりも前に来る順列は、5番目の文字がaのものです。
このとき、最後の文字はeとなります。つまり、fbcdaeよりも前に来る順列は 通りです。
以上より、fbcdaeよりも前に来る順列の総数は、 通りです。
したがって、fbcdaeは 番目になります。
3. 最終的な答え
663番目