与えられた条件の下で、以下の式の値を計算します。 1. $x = \sqrt{5} - 3$ のとき: (1) $x^2 + 9x + 18$ (2) $x^2 + 6x - 40$

1. 問題の内容

与えられた条件の下で、以下の式の値を計算します。

1. $x = \sqrt{5} - 3$ のとき:

(1) $x^2 + 9x + 18$

(2) $x^2 + 6x - 40$

2. $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$, $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ のとき:

(1) $x^2 + 2xy + y^2$

(2) $x^2 - xy$

3. $\sqrt{6}$ の小数部分を $a$ とするとき:

(1) $a^2 + 4a - 21$

(2) $a^2 + 10a + 16$

4. $\sqrt{17}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき:

(1) $a^2 - b^2$

(2) $a^2 + 2ab + b^2$

2. 解き方の手順

1. (1) $x = \sqrt{5} - 3$ を $x^2 + 9x + 18$ に代入します。

$x+3 = \sqrt{5}$ より、$(x+3)^2 = 5$ なので $x^2 + 6x + 9 = 5$、つまり $x^2 + 6x = -4$。

$x^2 + 9x + 18 = (x^2 + 6x) + 3x + 18 = -4 + 3(\sqrt{5} - 3) + 18 = -4 + 3\sqrt{5} - 9 + 18 = 5 + 3\sqrt{5}$

(2) $x = \sqrt{5} - 3$ を $x^2 + 6x - 40$ に代入します。

$x^2 + 6x = -4$ (上記参照)

$x^2 + 6x - 40 = -4 - 40 = -44$

2. (1) $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$, $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ のとき、 $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$ なので、$x+y = (\sqrt{3} + \sqrt{2}) + (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$。

$(x+y)^2 = (2\sqrt{3})^2 = 4 \times 3 = 12$

(2) $x = \sqrt{3} + \sqrt{2}$, $y = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ のとき、 $x^2 - xy$ を計算します。

$x^2 = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}$

$xy = (\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1$

$x^2 - xy = (5 + 2\sqrt{6}) - 1 = 4 + 2\sqrt{6}$

3. (1) $\sqrt{6} \approx 2.449$ より、$\sqrt{6}$ の整数部分は 2, 小数部分 $a = \sqrt{6} - 2$

$a^2 + 4a - 21 = (a+2)^2 - 4 - 21 = (\sqrt{6})^2 - 25 = 6 - 25 = -19$

(2) $a = \sqrt{6} - 2$ のとき、$a^2 + 10a + 16$ を計算します。

$a^2 + 10a + 16 = (a^2 + 4a) + 6a + 16 = ((\sqrt{6} - 2)^2 + 4(\sqrt{6} - 2)) + 16 = ((6-4\sqrt{6}+4)+4\sqrt{6}-8) + 6a + 16 = (10 - 4\sqrt{6} + 4\sqrt{6} - 8) + 6a + 16 = 2 + 6a + 16 = 18 + 6(\sqrt{6}-2) = 18 + 6\sqrt{6} - 12 = 6 + 6\sqrt{6}$

4. (1) $\sqrt{17} \approx 4.123$ より、$\sqrt{17}$ の整数部分は 4, 小数部分 $b = \sqrt{17} - 4$

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = (\sqrt{17})(\sqrt{17} - 8) = 17 - 8\sqrt{17}$

(2) $a = 4$, $b = \sqrt{17} - 4$ のとき、$a^2 + 2ab + b^2$ を計算します。

$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 = (4 + \sqrt{17} - 4)^2 = (\sqrt{17})^2 = 17$

3. 最終的な答え

1. (1) $5 + 3\sqrt{5}$

(2) $-44$

2. (1) $12$

(2) $4 + 2\sqrt{6}$

3. (1) $-19$

(2) $6 + 6\sqrt{6}$

4. (1) $17 - 8\sqrt{17}$

(2) $17$