以下の問題について、解き方と答えを説明します。 * 問題15：次の関数の最大値と最小値を求めよ。 * (1) $y = -x^2 + 1$ ($1 \le x \le 3$) * (2) $y = 2x^2 - 4x + 1$ ($-1 \le x \le 2$) * 問題16：次の2次方程式を解け。 * (1) $(x-1)(x+2) = 0$ * (2) $x^2 = \frac{8}{9}$ * 問題17：次の2次方程式を解け。 * (1) $x^2 + 10x + 24 = 0$ * (2) $3x^2 + 10x + 3 = 0$

1. 問題の内容

以下の問題について、解き方と答えを説明します。

* 問題15：次の関数の最大値と最小値を求めよ。

* (1) $y = -x^2 + 1$ ($1 \le x \le 3$)

* (2) $y = 2x^2 - 4x + 1$ ($-1 \le x \le 2$)

* 問題16：次の2次方程式を解け。

* (1) $(x-1)(x+2) = 0$

* (2) $x^2 = \frac{8}{9}$

* 問題17：次の2次方程式を解け。

* (1) $x^2 + 10x + 24 = 0$

* (2) $3x^2 + 10x + 3 = 0$

2. 解き方の手順

* 問題15

* (1) $y = -x^2 + 1$ のグラフは上に凸の放物線です。定義域 $1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求めます。

* $x = 1$ のとき、$y = -1^2 + 1 = 0$

* $x = 3$ のとき、$y = -3^2 + 1 = -8$

* 頂点のx座標は$x=0$であり，定義域外なので考慮不要。

* したがって、最大値は0 ($x=1$のとき)、最小値は-8 ($x=3$のとき)です。

* (2) $y = 2x^2 - 4x + 1$ を平方完成します。

* $y = 2(x^2 - 2x) + 1 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1 = 2(x-1)^2 - 2 + 1 = 2(x-1)^2 - 1$

* グラフは下に凸の放物線で、頂点は $(1, -1)$ です。定義域 $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めます。

* $x = 1$ のとき、$y = -1$

* $x = -1$ のとき、$y = 2(-1-1)^2 - 1 = 2(4) - 1 = 7$

* $x = 2$ のとき、$y = 2(2-1)^2 - 1 = 2(1) - 1 = 1$

* したがって、最大値は7 ($x=-1$のとき)、最小値は-1 ($x=1$のとき)です。

* 問題16

* (1) $(x-1)(x+2) = 0$ より、$x-1 = 0$ または $x+2 = 0$。

* したがって、$x = 1$ または $x = -2$。

* (2) $x^2 = \frac{8}{9}$ より、$x = \pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{\sqrt{8}}{3} = \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$。

* したがって、$x = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ または $x = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

* 問題17

* (1) $x^2 + 10x + 24 = 0$ を因数分解します。

* $(x+4)(x+6) = 0$ より、$x+4 = 0$ または $x+6 = 0$。

* したがって、$x = -4$ または $x = -6$。

* (2) $3x^2 + 10x + 3 = 0$ を因数分解します。

* $(3x+1)(x+3) = 0$ より、$3x+1 = 0$ または $x+3 = 0$。

* したがって、$x = -\frac{1}{3}$ または $x = -3$。

3. 最終的な答え

* 問題15

* (1) 最大値: 0, 最小値: -8

* (2) 最大値: 7, 最小値: -1

* 問題16

* (1) $x = 1, -2$

* (2) $x = \frac{2\sqrt{2}}{3}, -\frac{2\sqrt{2}}{3}$

* 問題17

* (1) $x = -4, -6$

* (2) $x = -\frac{1}{3}, -3$