36, 37, 38の問題を解きます。 36. 正弦定理 (1) $\triangle ABC$において、$A=135^\circ$, $BC=2\sqrt{6}$のとき、外接円の半径を求めます。 (2) $\triangle ABC$において、$AB=4$, $B=60^\circ$, $C=45^\circ$のとき、$CA$を求めます。 37. 余弦定理 (1) $\triangle ABC$において、$AB=2$, $BC=3$, $B=60^\circ$のとき、$CA$を求めます。 (2) $\triangle ABC$において、$AB=4$, $BC=6$, $CA=5$のとき、$\cos A$を求めます。 38. 三角形の面積 $\triangle ABC$において、$AB=5$, $BC=4$, $B=120^\circ$のとき、$\triangle ABC$の面積を求めます。

1. 問題の内容

36, 37, 38の問題を解きます。

3

6. 正弦定理

(1) $\triangle ABC$において、$A=135^\circ$, $BC=2\sqrt{6}$のとき、外接円の半径を求めます。

(2) $\triangle ABC$において、$AB=4$, $B=60^\circ$, $C=45^\circ$のとき、$CA$を求めます。

3

7. 余弦定理

(1) $\triangle ABC$において、$AB=2$, $BC=3$, $B=60^\circ$のとき、$CA$を求めます。

(2) $\triangle ABC$において、$AB=4$, $BC=6$, $CA=5$のとき、$\cos A$を求めます。

3

8. 三角形の面積

$\triangle ABC$において、$AB=5$, $BC=4$, $B=120^\circ$のとき、$\triangle ABC$の面積を求めます。

2. 解き方の手順

3

6. 正弦定理

(1) 正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = 2R$　($R$は外接円の半径)なので、

$R = \frac{BC}{2 \sin A} = \frac{2\sqrt{6}}{2\sin 135^\circ} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6} \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{3} \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{3}$.

(2) 正弦定理より、$\frac{CA}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C}$なので、

$CA = \frac{AB \sin B}{\sin C} = \frac{4 \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6}$.

3

7. 余弦定理

(1) 余弦定理より、$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos B = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cos 60^\circ = 4 + 9 - 12 \cdot \frac{1}{2} = 13 - 6 = 7$.

よって、$CA = \sqrt{7}$.

(2) 余弦定理より、$\cos A = \frac{AB^2 + CA^2 - BC^2}{2AB \cdot CA} = \frac{4^2 + 5^2 - 6^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$.

3

8. 三角形の面積

$\triangle ABC = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin B = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin 120^\circ = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$.

3. 最終的な答え

3

6. (1) ア：2, イ：√, ウ：3

(2) ウ：2, エ：√, イ：6

3

7. (1) ア：√, イ：7

(2) ウ：1, エ：8

3

8. ア：5, イ：√, ウ：3