右の図のような道のある町で、A地点からB地点まで最短経路で行く方法について、以下の2つの場合についてその経路数を求める問題です。 (1) AからBまで行く最短経路の総数。 (2) AからCを通らずにBまで行く最短経路の総数。

1. 問題の内容

右の図のような道のある町で、A地点からB地点まで最短経路で行く方法について、以下の2つの場合についてその経路数を求める問題です。

(1) AからBまで行く最短経路の総数。

(2) AからCを通らずにBまで行く最短経路の総数。

2. 解き方の手順

(1) AからBまで行く最短経路の総数

AからBまで行くには、右に6回、上に4回移動する必要があります。これは、10回の移動のうち、右への移動を6回選ぶ（または上への移動を4回選ぶ）組み合わせの数に等しいです。

したがって、経路数は以下のようになります。

$_{10}C_6 = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

(2) AからCを通らずにBまで行く最短経路の総数

まず、AからCまでの最短経路の数を求めます。AからCまでは、右に3回、上に2回移動する必要があります。経路数は$_{5}C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

次に、CからBまでの最短経路の数を求めます。CからBまでは、右に3回、上に2回移動する必要があります。経路数は$_{5}C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通りです。

AからCを通りBまで行く最短経路の総数は、AからCまでの経路数とCからBまでの経路数の積で求められます。

$10 \times 10 = 100$通り

AからBまでの最短経路の総数から、AからCを通りBまで行く最短経路の総数を引けば、AからCを通らずにBまで行く最短経路の総数が求められます。

$210 - 100 = 110$通り

3. 最終的な答え

(1) AからBまで行く最短経路は210通り。

(2) AからCを通らずにBまで行く最短経路は110通り。