右の図のような道のある町で、A地点からB地点まで最短経路で行く方法について、以下の2つの場合についてその経路数を求める問題です。 (1) AからBまで行く最短経路の総数。 (2) AからCを通らずにBまで行く最短経路の総数。

離散数学組み合わせ最短経路場合の数格子経路
2025/7/7

1. 問題の内容

右の図のような道のある町で、A地点からB地点まで最短経路で行く方法について、以下の2つの場合についてその経路数を求める問題です。
(1) AからBまで行く最短経路の総数。
(2) AからCを通らずにBまで行く最短経路の総数。

2. 解き方の手順

(1) AからBまで行く最短経路の総数
AからBまで行くには、右に6回、上に4回移動する必要があります。これは、10回の移動のうち、右への移動を6回選ぶ(または上への移動を4回選ぶ)組み合わせの数に等しいです。
したがって、経路数は以下のようになります。
10C6=10!6!4!=10×9×8×74×3×2×1=10×3×7=210_{10}C_6 = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210
(2) AからCを通らずにBまで行く最短経路の総数
まず、AからCまでの最短経路の数を求めます。AからCまでは、右に3回、上に2回移動する必要があります。経路数は5C3=5!3!2!=5×42×1=10_{5}C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10通りです。
次に、CからBまでの最短経路の数を求めます。CからBまでは、右に3回、上に2回移動する必要があります。経路数は5C3=5!3!2!=5×42×1=10_{5}C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10通りです。
AからCを通りBまで行く最短経路の総数は、AからCまでの経路数とCからBまでの経路数の積で求められます。
10×10=10010 \times 10 = 100通り
AからBまでの最短経路の総数から、AからCを通りBまで行く最短経路の総数を引けば、AからCを通らずにBまで行く最短経路の総数が求められます。
210100=110210 - 100 = 110通り

3. 最終的な答え

(1) AからBまで行く最短経路は210通り。
(2) AからCを通らずにBまで行く最短経路は110通り。

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