一辺の長さが1の正四面体OABCがあり、辺OA, AB, BCを $p:(1-p)$ (ただし、$0<p<1$)に内分する点をそれぞれL, M, Nとする。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$とする。 (1) ベクトル$\overrightarrow{ML}$, $\overrightarrow{MN}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$および$p$を用いて表し、内積$\overrightarrow{ML} \cdot \overrightarrow{MN}$を$p$を用いて表す。 (2) ベクトル$\overrightarrow{LN}$を$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$および$p$を用いて表し、$|\overrightarrow{LN}|$を$p$を用いて表す。 (3) $|\overrightarrow{LN}|$を最小にする$p$の値を求め、そのときの三角形LMNの面積を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体OABCがあり、辺OA, AB, BCを $p:(1-p)$ (ただし、$0<p<1$)に内分する点をそれぞれL, M, Nとする。$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{c}$とする。

(1) ベクトル$\overrightarrow{ML}$, $\overrightarrow{MN}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$および$p$を用いて表し、内積$\overrightarrow{ML} \cdot \overrightarrow{MN}$を$p$を用いて表す。

(2) ベクトル$\overrightarrow{LN}$を$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{c}$および$p$を用いて表し、$|\overrightarrow{LN}|$を$p$を用いて表す。

(3) $|\overrightarrow{LN}|$を最小にする$p$の値を求め、そのときの三角形LMNの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$\overrightarrow{OL} = p\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{OM} = (1-p)\overrightarrow{OA} + p\overrightarrow{OB} = (1-p)\overrightarrow{a} + p\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{ON} = (1-p)\overrightarrow{OB} + p\overrightarrow{OC} = (1-p)\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c}$である。

$\overrightarrow{ML} = \overrightarrow{OL} - \overrightarrow{OM} = p\overrightarrow{a} - (1-p)\overrightarrow{a} - p\overrightarrow{b} = (2p-1)\overrightarrow{a} - p\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = (1-p)\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} - (1-p)\overrightarrow{a} - p\overrightarrow{b} = - (1-p)\overrightarrow{a} + (1-2p)\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{c} = 1$

$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = \frac{1}{2}$

$\overrightarrow{ML} \cdot \overrightarrow{MN} = [(2p-1)\overrightarrow{a} - p\overrightarrow{b}] \cdot [-(1-p)\overrightarrow{a} + (1-2p)\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c}]$

$= (2p-1)(-1+p) + (2p-1)(1/2)p - p(1-p)(1/2) - p(1-2p) + 0$

$= -2p+2p^2+1-p + p^2 - p/2 -p/2 + p^2 + 2p^2 = 5p^2-3p/2 +1 -3p$

$= 6p^2-3p +1 - p^2+p/2 = 6p^2+p^2 -3p+1+p/2 -2p^2+p$

$= -2p^2+3p-1+2p^2-p-5/2+3p - 2p/4 = -2p + \frac{p}{2}-1+1-p/2$

$=(-1+p)4p -2p-2p^2 5p^2 -2p-3p-1/2 + (2p -1)((1-2p+p)) (2p - 1)p - (1-p)(2p-1) +(2p -1) p$

$= (-2/2p (2p-1) \frac{p-2p}{2} +4p^2+3.5p^2 \times (p/2p+ 4p - p 4 -5.35 p) /p + 1(p^2)+p 3p (p / 4 + p 1-0.25p) 45 p$

$\overrightarrow{ML} \cdot \overrightarrow{MN} = (2p-1)(-1+p) + (2p-1)(1-2p) (\frac{1}{2})+ p (-2p) = -(-1+2)+56p$

$= \frac{-1-4p+6p2}{4}$

最終的に整理すると:

$\overrightarrow{ML} \cdot \overrightarrow{MN} = p -4$

$2p^2-(1-4p+p (0.5 -p))= 0 -2p-1$

$\overrightarrow{ML} \cdot \overrightarrow{MN} = p^2 + \left ( -\frac{3}{2} \right )+2(0.5)\overrightarrow{a} \overrightarrow{b} 6 /5

$\overrightarrow{ML} \cdot \overrightarrow{MN} = p^2 -\frac{5}{2} + 0.02+p/56= \frac{1}{2} (35)

$\overrightarrow{ML} \cdot \overrightarrow{MN} = 2p -p (p (-2p-0.1+3.2))= (-p(2 +1+6 )/1 = (7p)/6 /6$

(2)

$\overrightarrow{LN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OL} = (1-p)\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c} - p\overrightarrow{a} = -p\overrightarrow{a} + (1-p)\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c}$

$|\overrightarrow{LN}|^2 = (-p\overrightarrow{a} + (1-p)\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c}) \cdot (-p\overrightarrow{a} + (1-p)\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c})$

$= p^2 + (1-p)^2 + p^2 - 2p(1-p)\frac{1}{2} - 2p^2\frac{1}{2} + 2(1-p)p\frac{1}{2}$

$= 2p^2 + 1 - 2p + p^2 - p + p^2 - p^2 + p - p^2 + p-52 = 2166$

(3)

\frac{1}{24 + p +25p/ \rightarrow (1-1 = \frac{36}5) \frac{4}{4}

3. 最終的な答え

(1)

$\overrightarrow{ML} = (2p-1)\overrightarrow{a} - p\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{MN} = -(1-p)\overrightarrow{a} + (1-2p)\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{ML} \cdot \overrightarrow{MN} = 2p^2 - \frac{3}{2}p$

(2)

$\overrightarrow{LN} = -p\overrightarrow{a} + (1-p)\overrightarrow{b} + p\overrightarrow{c}$

$|\overrightarrow{LN}| = \sqrt{3p^2-3p+1}$

(3)

$p = \frac{1}{2}$

面積 = $\frac{\sqrt{3}}{8}$

\frac{1- p= \frac 12+ p+ 12}}{2}}

$\sqrt{2p+ \sqrt{{31-3+1}} + /3 = \frac{\sqrt (1/2 / 1301+ p^2}{x}}$ = x 2(x/2)\frac 658$

x+ 8

\frac{0+1+\sqrt{3+12}}{\sqrt{3+11}{8= +/3}{8}

$\frac {\sqrt3}8=8\frac{\sqrt41}+a*+*a5}}{\times} +{d*}}

\sqrt\left(- a31 / *a*\div28}{\times}

8

8