6個の球を3つの箱に入れる方法の数を求める問題です。球と箱に区別があるかないか、空箱を許すか許さないかで場合分けされています。

1. 問題の内容

6個の球を3つの箱に入れる方法の数を求める問題です。球と箱に区別があるかないか、空箱を許すか許さないかで場合分けされています。

2. 解き方の手順

(1) 球に区別がなく、箱に区別があるとき。

(a) 空箱があってもよい。

これは、6個の球を3つの箱に分配する重複組み合わせの問題です。

$x_1 + x_2 + x_3 = 6$ を満たす非負整数の組 $(x_1, x_2, x_3)$ の数を求めます。

重複組み合わせの公式より、求める場合の数は ${}_{3+6-1}C_{6} = {}_8C_6 = {}_8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ 通りです。

(b) 空箱はない。

$x_1 + x_2 + x_3 = 6$ を満たす正の整数の組 $(x_1, x_2, x_3)$ の数を求めます。

$y_i = x_i - 1$ とおくと、$y_i$ は非負整数で、$x_i = y_i + 1$ となります。

$(y_1 + 1) + (y_2 + 1) + (y_3 + 1) = 6$ より、$y_1 + y_2 + y_3 = 3$ を満たす非負整数の組 $(y_1, y_2, y_3)$ の数を求めます。

重複組み合わせの公式より、求める場合の数は ${}_{3+3-1}C_{3} = {}_5C_3 = {}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

(2) 球にも箱にも区別があり、空箱はない。

まず、6個の球を3つのグループに分けます。これは、分割数ではなく、分割されたグループに箱を割り当てる順列も考える必要があります。

グループ分けとして考えられるのは、(4,1,1), (3,2,1), (2,2,2) の3パターンです。

(4,1,1)の場合：6個から4個選び、残り2個から1個選び、残り1個から1個選びます。選んだ4個,1個,1個のグループを3つの箱に割り当てる方法は3!/2! = 3通りです。したがって、$\binom{6}{4} \binom{2}{1} \binom{1}{1} \times 3 = 15 \times 2 \times 1 \times 3 = 90$ 通り。

(3,2,1)の場合：6個から3個選び、残り3個から2個選び、残り1個から1個選びます。選んだ3個,2個,1個のグループを3つの箱に割り当てる方法は3! = 6通りです。したがって、$\binom{6}{3} \binom{3}{2} \binom{1}{1} \times 6 = 20 \times 3 \times 1 \times 6 = 360$ 通り。

(2,2,2)の場合：6個から2個選び、残り4個から2個選び、残り2個から2個選びます。選んだ2個,2個,2個のグループを3つの箱に割り当てる方法は3!/3! = 1通りです。$\binom{6}{2} \binom{4}{2} \binom{2}{2} / 3! \times 3!= 15*6*1 *1=90$. 選んだ3つのグループを3つの箱に割り当てる方法は1通りなので、 $\frac{\binom{6}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2}}{3!} \times 3! = 15 \times 6 \times 1=90$。

合計で $90 + 360 + 90 = 540$ 通り。

(3) 球に区別があり、箱に区別がなく、空箱はない。

球に区別があり、箱に区別がない場合、前の問題(2)と同様に(4,1,1),(3,2,1),(2,2,2)のグループに分け、箱の区別がないため、(4,1,1)のグループ分けの数は$\binom{6}{4} = 15$。(3,2,1)のグループ分けの数は$\binom{6}{3}\binom{3}{2} = 20 \times 3=60$。(2,2,2)のグループ分けの数は$\binom{6}{2}\binom{4}{2} = 15 \times 6 = 90$。グループの区別がないため、$90/3!=15$。したがって、15+60+15=90。

3. 最終的な答え

(1) (a) 28通り

(b) 10通り

(2) 540通り

(3) 90通り