(1) 球に区別がなく、箱に区別があるとき。
(a) 空箱があってもよい。
これは、6個の球を3つの箱に分配する重複組み合わせの問題です。
x1+x2+x3=6 を満たす非負整数の組 (x1,x2,x3) の数を求めます。 重複組み合わせの公式より、求める場合の数は 3+6−1C6=8C6=8C2=2×18×7=28 通りです。 (b) 空箱はない。
x1+x2+x3=6 を満たす正の整数の組 (x1,x2,x3) の数を求めます。 yi=xi−1 とおくと、yi は非負整数で、xi=yi+1 となります。 (y1+1)+(y2+1)+(y3+1)=6 より、y1+y2+y3=3 を満たす非負整数の組 (y1,y2,y3) の数を求めます。 重複組み合わせの公式より、求める場合の数は 3+3−1C3=5C3=5C2=2×15×4=10 通りです。 (2) 球にも箱にも区別があり、空箱はない。
まず、6個の球を3つのグループに分けます。これは、分割数ではなく、分割されたグループに箱を割り当てる順列も考える必要があります。
グループ分けとして考えられるのは、(4,1,1), (3,2,1), (2,2,2) の3パターンです。
(4,1,1)の場合:6個から4個選び、残り2個から1個選び、残り1個から1個選びます。選んだ4個,1個,1個のグループを3つの箱に割り当てる方法は3!/2! = 3通りです。したがって、(46)(12)(11)×3=15×2×1×3=90 通り。 (3,2,1)の場合:6個から3個選び、残り3個から2個選び、残り1個から1個選びます。選んだ3個,2個,1個のグループを3つの箱に割り当てる方法は3! = 6通りです。したがって、(36)(23)(11)×6=20×3×1×6=360 通り。 (2,2,2)の場合:6個から2個選び、残り4個から2個選び、残り2個から2個選びます。選んだ2個,2個,2個のグループを3つの箱に割り当てる方法は3!/3! = 1通りです。(26)(24)(22)/3!×3!=15∗6∗1∗1=90. 選んだ3つのグループを3つの箱に割り当てる方法は1通りなので、 3!(26)(24)(22)×3!=15×6×1=90。 合計で 90+360+90=540 通り。 (3) 球に区別があり、箱に区別がなく、空箱はない。
球に区別があり、箱に区別がない場合、前の問題(2)と同様に(4,1,1),(3,2,1),(2,2,2)のグループに分け、箱の区別がないため、(4,1,1)のグループ分けの数は(46)=15。(3,2,1)のグループ分けの数は(36)(23)=20×3=60。(2,2,2)のグループ分けの数は(26)(24)=15×6=90。グループの区別がないため、90/3!=15。したがって、15+60+15=90。