曲線 $y = x^4 - 2ax^3 + 3x^2 + 4$ が変曲点をもたないように、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^4 - 2ax^3 + 3x^2 + 4$ が変曲点をもたないように、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

変曲点は、2階導関数 $y''$ の符号が変わる点です。変曲点をもたないということは、$y''$ の符号が変わらない、つまり、$y''=0$ となる実数解を持たないか、重解を持つかのいずれかである必要があります。

まず、$y$ を $x$ で2回微分します。

$y = x^4 - 2ax^3 + 3x^2 + 4$

$y' = 4x^3 - 6ax^2 + 6x$

$y'' = 12x^2 - 12ax + 6$

$y'' = 0$ となる $x$ の方程式を考えます。

$12x^2 - 12ax + 6 = 0$

$2x^2 - 2ax + 1 = 0$

この2次方程式が実数解を持たないか、重解を持つ条件を求めます。判別式を $D$ とすると、

$D = (-2a)^2 - 4(2)(1) = 4a^2 - 8$

変曲点をもたないためには、$D \le 0$ である必要があります。

$4a^2 - 8 \le 0$

$a^2 - 2 \le 0$

$a^2 \le 2$

したがって、$-\sqrt{2} \le a \le \sqrt{2}$ です。

3. 最終的な答え

$-\sqrt{2} \le a \le \sqrt{2}$