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与えられた定積分を計算する問題です。 積分は $\int_0^{1/2} e^{1-4x} dx$ です。

解析学定積分指数関数置換積分
2025/7/10

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。
積分は ∫01/2e1−4xdx\int_0^{1/2} e^{1-4x} dx です。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 ∫e1−4xdx\int e^{1-4x} dx を計算します。
u=1−4xu = 1-4x と置換すると、du=−4dxdu = -4dx となり、dx=−14dudx = -\frac{1}{4}du です。
したがって、
∫e1−4xdx=∫eu(−14)du=−14∫eudu=−14eu+C=−14e1−4x+C\int e^{1-4x} dx = \int e^u (-\frac{1}{4}) du = -\frac{1}{4} \int e^u du = -\frac{1}{4} e^u + C = -\frac{1}{4} e^{1-4x} + C
次に、定積分を計算します。
∫01/2e1−4xdx=[−14e1−4x]01/2=−14e1−4(1/2)−(−14e1−4(0))=−14e−1+14e1=14(e−e−1)=14(e−1e)=e2−14e\int_0^{1/2} e^{1-4x} dx = [-\frac{1}{4} e^{1-4x}]_0^{1/2} = -\frac{1}{4} e^{1-4(1/2)} - (-\frac{1}{4} e^{1-4(0)}) = -\frac{1}{4} e^{-1} + \frac{1}{4} e^1 = \frac{1}{4}(e - e^{-1}) = \frac{1}{4}(e - \frac{1}{e}) = \frac{e^2 - 1}{4e}

3. 最終的な答え

e2−14e\frac{e^2 - 1}{4e}

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