与えられた関数の逆関数を求めます。 (1) $y = -2x + 6$ (2) $y = x^2 - 4x + 5$ ($x \ge 2$) (3) $y = \sqrt{5 - x^2}$ ($0 \le x \le \sqrt{5}$) (4) $y = \log_{10}(x - 3)$

1. 問題の内容

与えられた関数の逆関数を求めます。

(1) $y = -2x + 6$

(2) $y = x^2 - 4x + 5$ ($x \ge 2$)

(3) $y = \sqrt{5 - x^2}$ ($0 \le x \le \sqrt{5}$)

(4) $y = \log_{10}(x - 3)$

2. 解き方の手順

(1) $y = -2x + 6$ の逆関数

$x$ と $y$ を入れ替えます。

$x = -2y + 6$

$2y = 6 - x$

$y = \frac{6 - x}{2} = 3 - \frac{x}{2}$

(2) $y = x^2 - 4x + 5$ ($x \ge 2$) の逆関数

$x = y^2 - 4y + 5$

$x = (y - 2)^2 + 1$

$(y - 2)^2 = x - 1$

$y - 2 = \pm \sqrt{x - 1}$

$y = 2 \pm \sqrt{x - 1}$

$x \ge 2$ より、$y \ge 1$ となるので、$y - 2 \ge -1$ 。元の関数の値域は $y \ge 1$。

従って、$y = 2 + \sqrt{x - 1}$

(3) $y = \sqrt{5 - x^2}$ ($0 \le x \le \sqrt{5}$) の逆関数

$x = \sqrt{5 - y^2}$

$x^2 = 5 - y^2$

$y^2 = 5 - x^2$

$y = \pm \sqrt{5 - x^2}$

$0 \le x \le \sqrt{5}$ より、$0 \le y \le \sqrt{5}$。元の関数の値域は $0 \le y \le \sqrt{5}$。

よって、$y = \sqrt{5 - x^2}$

(4) $y = \log_{10}(x - 3)$ の逆関数

$x = \log_{10}(y - 3)$

$10^x = y - 3$

$y = 10^x + 3$

3. 最終的な答え

(1) $y = 3 - \frac{x}{2}$

(2) $y = 2 + \sqrt{x - 1}$

(3) $y = \sqrt{5 - x^2}$

(4) $y = 10^x + 3$