関数 $f(x) = |x| \cos x$ が $x=0$ で微分可能かどうかを調べる問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = |x| \cos x$ が $x=0$ で微分可能かどうかを調べる問題です。

2. 解き方の手順

微分可能かどうかを調べるには、左側微分係数と右側微分係数が一致するかどうかを確認します。

まず、$f(x)$ を場合分けして表します。

$x \geq 0$ のとき、$f(x) = x \cos x$

$x < 0$ のとき、$f(x) = -x \cos x$

次に、右側微分係数を計算します。

$f'(0+) = \lim_{h \to +0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{h \cos h - 0}{h} = \lim_{h \to +0} \cos h = 1$

次に、左側微分係数を計算します。

$f'(0-) = \lim_{h \to -0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{-h \cos h - 0}{h} = \lim_{h \to -0} -\cos h = -1$

右側微分係数と左側微分係数が一致しないため、$x=0$ で微分可能ではありません。

3. 最終的な答え

$f(x) = |x| \cos x$ は $x=0$ で微分可能ではない。