次の6つの三角関数の値を求めます。 (1) $\sin^{-1}(\sin \frac{5}{4}\pi)$ (2) $\tan (\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}}))$ (3) $\cos^{-1}(\sin \frac{\pi}{2})$ (4) $\cos (\tan^{-1}(-\sqrt{3}))$ (5) $\sin (\cos^{-1}(\frac{1}{2}))$ (6) $\tan^{-1}(\cos \pi)$

1. 問題の内容

次の6つの三角関数の値を求めます。

(1) $\sin^{-1}(\sin \frac{5}{4}\pi)$

(2) $\tan (\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}}))$

(3) $\cos^{-1}(\sin \frac{\pi}{2})$

(4) $\cos (\tan^{-1}(-\sqrt{3}))$

(5) $\sin (\cos^{-1}(\frac{1}{2}))$

(6) $\tan^{-1}(\cos \pi)$

2. 解き方の手順

(1) $\sin^{-1}(\sin \frac{5}{4}\pi)$

まず、$\sin \frac{5}{4}\pi$ を計算します。$\frac{5}{4}\pi$ は第3象限の角であり、$\sin \frac{5}{4}\pi = -\frac{\sqrt{2}}{2}$です。

$\sin^{-1}(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$となります。

(2) $\tan (\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}}))$

まず、$\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$を計算します。$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$となる$\theta$は$\frac{3\pi}{4}$です。

したがって、$\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{3\pi}{4}$です。

次に、$\tan (\frac{3\pi}{4})$を計算します。$\tan \frac{3\pi}{4} = -1$です。

(3) $\cos^{-1}(\sin \frac{\pi}{2})$

まず、$\sin \frac{\pi}{2}$を計算します。$\sin \frac{\pi}{2} = 1$です。

次に、$\cos^{-1}(1)$を計算します。$\cos \theta = 1$となる$\theta$は$0$です。

したがって、$\cos^{-1}(1) = 0$です。

(4) $\cos (\tan^{-1}(-\sqrt{3}))$

まず、$\tan^{-1}(-\sqrt{3})$を計算します。$\tan \theta = -\sqrt{3}$となる$\theta$は$-\frac{\pi}{3}$です。

したがって、$\tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$です。

次に、$\cos (-\frac{\pi}{3})$を計算します。$\cos (-\frac{\pi}{3}) = \cos (\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$です。

(5) $\sin (\cos^{-1}(\frac{1}{2}))$

まず、$\cos^{-1}(\frac{1}{2})$を計算します。$\cos \theta = \frac{1}{2}$となる$\theta$は$\frac{\pi}{3}$です。

したがって、$\cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$です。

次に、$\sin (\frac{\pi}{3})$を計算します。$\sin (\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$です。

(6) $\tan^{-1}(\cos \pi)$

まず、$\cos \pi$を計算します。$\cos \pi = -1$です。

次に、$\tan^{-1}(-1)$を計算します。$\tan \theta = -1$となる$\theta$は$-\frac{\pi}{4}$です。

したがって、$\tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$です。

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{\pi}{4}$

(2) $-1$

(3) $0$

(4) $\frac{1}{2}$

(5) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(6) $-\frac{\pi}{4}$