次の不定積分を求め、与えられた選択肢から適切なものを選択する問題です。 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x}} dx$ 答えの形式は、$\log | ア + \sqrt{イ} | + C$ で与えられます。

1. 問題の内容

次の不定積分を求め、与えられた選択肢から適切なものを選択する問題です。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x}} dx$

答えの形式は、$\log | ア + \sqrt{イ} | + C$ で与えられます。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算するために、平方完成を行います。

$x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2 - 1}} dx$

ここで、$x+1 = \cosh(u)$ と置換します。すると、$dx = \sinh(u) du$ となります。

$\int \frac{1}{\sqrt{\cosh^2(u) - 1}} \sinh(u) du = \int \frac{1}{\sqrt{\sinh^2(u)}} \sinh(u) du = \int \frac{\sinh(u)}{\sinh(u)} du = \int 1 du = u + C$

$u = \cosh^{-1}(x+1)$ であるので、

$\cosh^{-1}(x+1) + C$

$\cosh^{-1}(x+1) = \log(x+1 + \sqrt{(x+1)^2 - 1}) = \log(x+1 + \sqrt{x^2 + 2x})$

よって、積分結果は

$\log | x+1 + \sqrt{x^2 + 2x} | + C$

3. 最終的な答え

ア: $x+1$

イ: $x^2 + 2x$

したがって、選択肢から選ぶと、

ア = 1

イ = 3

最終的な答えは、$\log | x+1 + \sqrt{x^2 + 2x} | + C$ です。