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1. 問題の内容
与えられた問題は3つあります。
(1) が成り立つような定数 を求める問題です。
(2) と の値を求める問題です。
(3) 定積分 の値を求める問題です。
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2. 解き方の手順
### (1) 定数A, B, C, Dを求める
まず、与えられた式を整理します。
であることに注意すると、両辺に をかけて、
右辺を展開し、整理します。
この式が全ての に対して成り立つためには、各次数の係数が等しくなければなりません。したがって、次の連立方程式が得られます。
これらの式を解きます。
最初の式から 。
最後の式から , つまり 。
これらの関係を2番目と3番目の式に代入します。
したがって、。
### (2) と を求める
半角の公式を利用します。
なので、
### (3) 定積分の計算
(1)の結果を用いると、
なので、
また、を用いて、
なので、
となり計算できない.
したがって、定積分は
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3. 最終的な答え
(1)
(2)
(3)