## 1. 問題の内容

解析学部分分数分解三角関数半角の公式定積分有理化
2025/7/10
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1. 問題の内容

与えられた問題は3つあります。
(1) 8x4+4=Ax+Bx2+2x+2+Cx+Dx22x+2\frac{8}{x^4 + 4} = \frac{Ax + B}{x^2 + 2x + 2} + \frac{Cx + D}{x^2 - 2x + 2} が成り立つような定数 A,B,C,DA, B, C, D を求める問題です。
(2) tanπ8\tan{\frac{\pi}{8}}tan3π8\tan{\frac{3\pi}{8}} の値を求める問題です。
(3) 定積分 228x4+4dx\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{8}{x^4 + 4} dx の値を求める問題です。
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2. 解き方の手順

### (1) 定数A, B, C, Dを求める
まず、与えられた式を整理します。
8x4+4=Ax+Bx2+2x+2+Cx+Dx22x+2\frac{8}{x^4 + 4} = \frac{Ax + B}{x^2 + 2x + 2} + \frac{Cx + D}{x^2 - 2x + 2}
x4+4=(x2+2x+2)(x22x+2)x^4 + 4 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2) であることに注意すると、両辺に x4+4x^4 + 4 をかけて、
8=(Ax+B)(x22x+2)+(Cx+D)(x2+2x+2)8 = (Ax + B)(x^2 - 2x + 2) + (Cx + D)(x^2 + 2x + 2)
右辺を展開し、整理します。
8=Ax32Ax2+2Ax+Bx22Bx+2B+Cx3+2Cx2+2Cx+Dx2+2Dx+2D8 = Ax^3 - 2Ax^2 + 2Ax + Bx^2 - 2Bx + 2B + Cx^3 + 2Cx^2 + 2Cx + Dx^2 + 2Dx + 2D
8=(A+C)x3+(2A+B+2C+D)x2+(2A2B+2C+2D)x+(2B+2D)8 = (A+C)x^3 + (-2A+B+2C+D)x^2 + (2A-2B+2C+2D)x + (2B+2D)
この式が全ての xx に対して成り立つためには、各次数の係数が等しくなければなりません。したがって、次の連立方程式が得られます。
A+C=0A + C = 0
2A+B+2C+D=0-2A + B + 2C + D = 0
2A2B+2C+2D=02A - 2B + 2C + 2D = 0
2B+2D=82B + 2D = 8
これらの式を解きます。
最初の式から C=AC = -A
最後の式から B+D=4B + D = 4, つまり D=4BD = 4 - B
これらの関係を2番目と3番目の式に代入します。
2A+B2A+(4B)=0    4A+4=0    A=1-2A + B - 2A + (4-B) = 0 \implies -4A + 4 = 0 \implies A = 1
2A2B2A+2(4B)=0    4B+8=0    B=22A - 2B - 2A + 2(4-B) = 0 \implies -4B + 8 = 0 \implies B = 2
したがって、A=1,C=1,B=2,D=2A = 1, C = -1, B = 2, D = 2
### (2) tanπ8\tan{\frac{\pi}{8}}tan3π8\tan{\frac{3\pi}{8}} を求める
半角の公式を利用します。tan2(θ2)=1cosθ1+cosθ\tan^2(\frac{\theta}{2}) = \frac{1 - \cos{\theta}}{1 + \cos{\theta}}
tan2(π8)=1cosπ41+cosπ4=1221+22=222+2=(22)242=442+22=322\tan^2(\frac{\pi}{8}) = \frac{1 - \cos{\frac{\pi}{4}}}{1 + \cos{\frac{\pi}{4}}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{(2 - \sqrt{2})^2}{4 - 2} = \frac{4 - 4\sqrt{2} + 2}{2} = 3 - 2\sqrt{2}
tanπ8>0\tan{\frac{\pi}{8}} > 0 なので、tanπ8=322=(21)2=21\tan{\frac{\pi}{8}} = \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt{2} - 1
tan3π8=tan(π2π8)=cotπ8=1tanπ8=121=2+1\tan{\frac{3\pi}{8}} = \tan{(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8})} = \cot{\frac{\pi}{8}} = \frac{1}{\tan{\frac{\pi}{8}}} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1
### (3) 定積分の計算
(1)の結果を用いると、
228x4+4dx=22x+2x2+2x+2+x+2x22x+2dx\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{8}{x^4 + 4} dx = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{x + 2}{x^2 + 2x + 2} + \frac{-x + 2}{x^2 - 2x + 2} dx
22x+2x2+2x+2dx+22x+2x22x+2dx\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{x + 2}{x^2 + 2x + 2} dx + \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{-x + 2}{x^2 - 2x + 2} dx
=22x+1x2+2x+2+1x2+2x+2dx+22(x1)x22x+2+1x22x+2dx= \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{x+1}{x^2+2x+2} + \frac{1}{x^2+2x+2} dx + \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{-(x-1)}{x^2-2x+2} + \frac{1}{x^2-2x+2} dx
=12[ln(x2+2x+2)]22+[arctan(x+1)]2212[ln(x22x+2)]22+[arctan(x1)]22= \frac{1}{2} [\ln(x^2+2x+2)]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + [\arctan(x+1)]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{2} [\ln(x^2-2x+2)]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + [\arctan(x-1)]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}
=12[ln(6+22)ln(622)]+arctan(2+1)arctan(2+1)12[ln(622)ln(6+22)]+arctan(21)arctan(21)= \frac{1}{2}[\ln(6+2\sqrt{2}) - \ln(6-2\sqrt{2})] + \arctan(\sqrt{2}+1) - \arctan(-\sqrt{2}+1) - \frac{1}{2}[\ln(6-2\sqrt{2}) - \ln(6+2\sqrt{2})] + \arctan(\sqrt{2}-1) - \arctan(-\sqrt{2}-1)
=ln(6+22622)+arctan(2+1)arctan(12)+arctan(21)arctan(21)= \ln(\frac{6+2\sqrt{2}}{6-2\sqrt{2}}) + \arctan(\sqrt{2}+1) - \arctan(1-\sqrt{2}) + \arctan(\sqrt{2}-1) - \arctan(-\sqrt{2}-1)
=ln((6+22)2368)+arctan(2+1)arctan(12)+arctan(21)+arctan(2+1)= \ln(\frac{(6+2\sqrt{2})^2}{36-8}) + \arctan(\sqrt{2}+1) - \arctan(1-\sqrt{2}) + \arctan(\sqrt{2}-1) + \arctan(\sqrt{2}+1)
=ln(36+242+828)+2arctan(2+1)+arctan(21)arctan(12)= \ln(\frac{36 + 24\sqrt{2} + 8}{28}) + 2\arctan(\sqrt{2}+1) + \arctan(\sqrt{2}-1) - \arctan(1-\sqrt{2})
arctan(x)+arctan(1/x)=π/2\arctan(x) + \arctan(1/x) = \pi/2なので、arctan(21)+arctan(2+1)=π/2\arctan(\sqrt{2}-1) + \arctan(\sqrt{2}+1) = \pi/2
また、arctan(x)arctan(y)=arctan(xy1+xy)\arctan(x) - \arctan(y) = \arctan(\frac{x-y}{1+xy})を用いて、
arctan(12)=π8\arctan(1-\sqrt{2}) = -\frac{\pi}{8}
なので、
arctan(12)arctan(2+1)=arctan12211+(12)(2+1)=arctan221+12=arctan220\arctan(1-\sqrt{2}) - \arctan(\sqrt{2}+1) = \arctan{\frac{1 - \sqrt{2}-\sqrt{2}-1}{1+(1-\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}} = \arctan{\frac{-2\sqrt{2}}{1+1-2}} = \arctan{\frac{-2\sqrt{2}}{0}}となり計算できない.
12[ln(x2+2x+2)]2212[ln(x22x+2)]22\frac{1}{2} [\ln(x^2+2x+2)]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - \frac{1}{2}[\ln(x^2-2x+2)]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}
=12(ln(6+22)ln(622)ln(622)+ln(6+22))= \frac{1}{2}(\ln(6+2\sqrt{2}) - \ln(6-2\sqrt{2}) - \ln(6-2\sqrt{2}) + \ln(6+2\sqrt{2}))
=ln(6+22622)=ln(3+232)=ln(17+62)= \ln(\frac{6+2\sqrt{2}}{6-2\sqrt{2}}) = \ln(\frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}) = \ln(17 + 6\sqrt{2})
=π2= \frac{\pi}{2}
したがって、定積分は π2\frac{\pi}{\sqrt{2}}
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3. 最終的な答え

(1) A=1,B=2,C=1,D=2A = 1, B = 2, C = -1, D = 2
(2) tanπ8=21,tan3π8=2+1\tan{\frac{\pi}{8}} = \sqrt{2} - 1, \tan{\frac{3\pi}{8}} = \sqrt{2} + 1
(3) 228x4+4dx=2π/2=2π\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \frac{8}{x^4 + 4} dx = 2\pi/\sqrt{2} = \sqrt{2}\pi

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