与えられた問題は、実数全体 $\mathbb{R}$ におけるガウス関数の積分、すなわち $\int_{\mathbb{R}} e^{-x^2} dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた問題は、実数全体 $\mathbb{R}$ におけるガウス関数の積分、すなわち $\int_{\mathbb{R}} e^{-x^2} dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

ガウス積分の解法はいくつかありますが、ここでは最も一般的な方法の一つを紹介します。

まず、積分を$I$とおきます。

$I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx$

次に、$I^2$を考えます。

$I^2 = (\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx)(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2} dy)$

$I^2 = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} dx dy$

ここで、直交座標$(x, y)$を極座標$(r, \theta)$に変換します。

$x = r \cos \theta$

$y = r \sin \theta$

$x^2 + y^2 = r^2$

$dx dy = r dr d\theta$

積分の範囲は $0 \le r < \infty$ および $0 \le \theta \le 2\pi$ となります。

したがって、

$I^2 = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r dr d\theta$

$\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r dr$を計算します。$u = r^2$とおくと、$du = 2r dr$となり、$r dr = \frac{1}{2} du$となります。

$\int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r dr = \int_{0}^{\infty} e^{-u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} du = \frac{1}{2} [-e^{-u}]_{0}^{\infty} = \frac{1}{2} [0 - (-1)] = \frac{1}{2}$

よって、

$I^2 = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} d\theta = \frac{1}{2} [\theta]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2} (2\pi - 0) = \pi$

$I^2 = \pi$なので、$I = \sqrt{\pi}$となります。積分範囲が実数全体なので、$I$は正であることに注意してください。

3. 最終的な答え

$\int_{\mathbb{R}} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$