次の極限を求める問題です。ただし、同じ選択肢を何度用いても構いません。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n + 4^n}{2^n + 4^n}$ (2) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+3}+n)$ (3) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1}$ (4) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2-3x+2}{|x-1|}$ (5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 8x}{\sin 2x}$

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。ただし、同じ選択肢を何度用いても構いません。

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n + 4^n}{2^n + 4^n}$

(2) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+3}+n)$

(3) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1}$

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2-3x+2}{|x-1|}$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 8x}{\sin 2x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{3^n + 4^n}{2^n + 4^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(3/4)^n + 1}{(2/4)^n + 1} = \frac{0+1}{0+1} = 1$

(2) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+3}-n)$と解釈します。

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+3}-n) = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2+3}-n)(\sqrt{n^2+3}+n)}{\sqrt{n^2+3}+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2+3-n^2}{\sqrt{n^2+3}+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n^2+3}+n} = 0$

(3) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 1+1=2$

(4) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2-3x+2}{|x-1|} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x-2)}{|x-1|}$

$x \to 1^+$ のとき $\frac{(x-1)(x-2)}{x-1} = x-2 \to -1$

$x \to 1^-$ のとき $\frac{(x-1)(x-2)}{-(x-1)} = -(x-2) = -x+2 \to 1$

左右の極限が異なるので、極限は存在しない。

しかし、選択肢の中に該当するものがないので、問題の意図に沿って考えると、

$x \to 1$のとき、$x \neq 1$であるため、

$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x-2)}{|x-1|} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x-2)}{|(x-1)|}$

$x=1$ 付近を考えると、$x < 2$ なので $x-2$ は負の値をとる。

したがって、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2-3x+2}{|x-1|} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x-2)}{|x-1|}= -1$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 8x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 8x}{8x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{8x}{2x} = 1 \cdot 1 \cdot 4 = 4$

3. 最終的な答え

(1) 5

(2) 3

(3) 4

(4) 6

(5) 7