円に内接する四角形の問題と、接線と弦のなす角の問題があります。ここでは、接線と弦のなす角の問題を解きます。円の接線PQが点Cで円に接し、$CD = DA$、$\angle DCQ = 37^\circ$ のとき、$\angle ACD$と$\angle ABC$を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形の問題と、接線と弦のなす角の問題があります。ここでは、接線と弦のなす角の問題を解きます。円の接線PQが点Cで円に接し、$CD = DA$、$\angle DCQ = 37^\circ$ のとき、$\angle ACD$と$\angle ABC$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\angle ACD$を求めます。CD=DAなので、三角形ACDは二等辺三角形です。したがって、$\angle CAD = \angle ACD$です。

次に、$\angle ADC$を求めます。接線と弦のなす角の定理より、$\angle DCQ = \angle DAC$です。よって、$\angle DAC = 37^\circ$です。

したがって、$\angle ACD = \angle CAD = 37^\circ$です。

次に、$\angle ABC$を求めます。

$\angle ADC$ は、三角形ACDの内角の和が180度であることから求められます。

$\angle ADC = 180^\circ - \angle CAD - \angle ACD = 180^\circ - 37^\circ - 37^\circ = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$です。

四角形ABCDは円に内接するので、対角の和は180度です。

したがって、$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$なので、

$\angle ABC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$です。

3. 最終的な答え

$\angle ACD = 37^\circ$

$\angle ABC = 74^\circ$