数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{2a_n+3}$ ($n=1,2,3,...$) で定められているとき、以下の問いに答えます。 (1) $|a_{n+1} - 3| < \frac{2}{3}|a_n - 3|$ が成り立つことを示します。 (2) $\lim_{n\to\infty} a_n$ を求めます。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{2a_n+3}$ ($n=1,2,3,...$) で定められているとき、以下の問いに答えます。

(1) $|a_{n+1} - 3| < \frac{2}{3}|a_n - 3|$ が成り立つことを示します。

(2) $\lim_{n\to\infty} a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $|a_{n+1} - 3| < \frac{2}{3}|a_n - 3|$ を示す。

まず、$a_{n+1} - 3 = \sqrt{2a_n + 3} - 3$ を変形します。

$a_{n+1} - 3 = \sqrt{2a_n + 3} - 3 = \frac{(\sqrt{2a_n + 3} - 3)(\sqrt{2a_n + 3} + 3)}{\sqrt{2a_n + 3} + 3} = \frac{2a_n + 3 - 9}{\sqrt{2a_n + 3} + 3} = \frac{2(a_n - 3)}{\sqrt{2a_n + 3} + 3}$

したがって、

$|a_{n+1} - 3| = \frac{2|a_n - 3|}{\sqrt{2a_n + 3} + 3}$

ここで、$a_n > 0$ なので、$\sqrt{2a_n + 3} + 3 > 3$ となります。

したがって、$\frac{1}{\sqrt{2a_n + 3} + 3} < \frac{1}{3}$ となり、

$\frac{2}{\sqrt{2a_n + 3} + 3} < \frac{2}{3}$ が成立します。

よって、

$|a_{n+1} - 3| = \frac{2|a_n - 3|}{\sqrt{2a_n + 3} + 3} < \frac{2}{3}|a_n - 3|$

が成り立ちます。

(2) $\lim_{n\to\infty} a_n$ を求める。

(1)より、$|a_{n+1} - 3| < \frac{2}{3}|a_n - 3|$ が成り立つので、

$|a_n - 3| < (\frac{2}{3})^{n-1}|a_1 - 3|$ が成り立ちます。

$a_1 = 1$ より、$|a_1 - 3| = |1 - 3| = 2$ なので、

$|a_n - 3| < 2(\frac{2}{3})^{n-1}$ となります。

$\lim_{n\to\infty} (\frac{2}{3})^{n-1} = 0$ なので、$\lim_{n\to\infty} |a_n - 3| = 0$ となり、

$\lim_{n\to\infty} a_n = 3$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $|a_{n+1} - 3| < \frac{2}{3}|a_n - 3|$

(2) $\lim_{n\to\infty} a_n = 3$