与えられた文字列 "sleeper" の7文字を並べ替えてできる文字列について、以下の2つの問いに答えます。 (8) 可能な文字列は何通りあるか。 (9) 両端いずれにも 'e' が存在しないような文字列は何通りあるか。

1. 問題の内容

与えられた文字列 "sleeper" の7文字を並べ替えてできる文字列について、以下の2つの問いに答えます。

(8) 可能な文字列は何通りあるか。

(9) 両端いずれにも 'e' が存在しないような文字列は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(8) について：

"sleeper" の7文字には、'e' が3つ含まれています。同じ文字を含む順列の総数は、全体の文字数の階乗を、各重複する文字の階乗で割ることで求められます。

全体の文字数は7なので、7!。'e' は3つ重複しているので、3! で割ります。したがって、可能な文字列の総数は $\frac{7!}{3!}$ で計算できます。

$\frac{7!}{3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

(9) について：

まず、文字列の両端に 'e' が配置される場合の数を考えます。両端に 'e' を配置する場合、残りの5文字（"sleeper" から 'e' を2つ取り除いた "slpr" と残りの1つの 'e'）を並び替えることになります。

残りの5文字の並び替えは、5! 通りです。したがって、両端に 'e' がある文字列の数は $\frac{5!}{1!} = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ です。

次に、片方の端にのみ 'e' がある場合を考えます。

- 一方の端が 'e' で、もう一方が 'e' 以外の場合: まず、'e' でない文字（'s', 'l', 'p', 'r'）から1つを選んで端に配置します。これは4通りあります。次に、残りの6文字（'e' 2つ、's', 'l', 'p', 'r' のうち使われなかった3つ）を並び替えます。

この並び替え方は $\frac{6!}{2!}$ 通りです。したがって、片方の端にのみ 'e' がある場合の数は $4 \times \frac{6!}{2!} = 4 \times \frac{720}{2} = 4 \times 360 = 1440$ となります。

しかし、'e' が両端に来ないようにするには、可能な文字列の総数から、両端が 'e' である文字列の数と、片方の端が 'e' である文字列の数を引く必要はありません。

代わりに、両端に 'e' が来ない文字列を直接計算します。

文字列の両端に 'e' が来ないようにするためには、両端には 's', 'l', 'p', 'r' のいずれかを配置する必要があります。

まず、両端の文字を決定します。異なる2つの文字を選ぶ場合、$4 \times 3 = 12$ 通りあります。同じ文字を選ぶ場合（例えば、両端が "s"）、これはありえません。なぜなら、's', 'l', 'p', 'r' はそれぞれ1回しか出現しないからです。

両端の文字が決まったら、残りの5文字を並べ替えます。このとき、'e' は3つあるので、残りの5文字の並べ方は $\frac{5!}{3!}$ 通りになります。

両端に配置する2つの文字を選ぶ組み合わせは $4 \times 3 = 12$ 通りですが、配置の順序も考慮すると、 $4 \times 3 = 12$ 通りとなります。

したがって、両端に 'e' が存在しないような文字列の数は $4 \times 3 \times \frac{5!}{3!} = 12 \times (5 \times 4) = 12 \times 20 = 240$となります。

最終的に、両端いずれにも 'e' が存在しないような文字列は、

$\frac{5!}{3!}$ は $5 \times 4= 20$となり、$4 \times 3 \times 20 = 240$ となります。

3. 最終的な答え

(8) 840通り

(9) 240通り