数列$\{a_n\}$において、ある条件の下で不等式$|a_{n+1}-3|<\frac{2}{3}|a_n-3|$が成り立つとき、不等式$|a_n - 3| < (\frac{2}{3})^{n-1}|a_1 - 3|$が成り立つ理由を問う問題です。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$において、ある条件の下で不等式$|a_{n+1}-3|<\frac{2}{3}|a_n-3|$が成り立つとき、不等式$|a_n - 3| < (\frac{2}{3})^{n-1}|a_1 - 3|$が成り立つ理由を問う問題です。

2. 解き方の手順

この問題は、数学的帰納法を使って解くことができます。

(1) $n=1$のとき:

$|a_1 - 3| < (\frac{2}{3})^{1-1}|a_1 - 3|$

$|a_1 - 3| < (\frac{2}{3})^0|a_1 - 3|$

$|a_1 - 3| < |a_1 - 3|$

これは、$n=1$のとき不等式は明らかに成り立ちません。しかし、これは問題文の質問には影響しません。なぜなら、問題は「もし$\left| a_{n+1} - 3 \right| < \frac{2}{3} \left| a_n - 3 \right|$が成り立つとき、なぜ$\left| a_n - 3 \right| < \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1} \left| a_1 - 3 \right|$が成り立つのか？」を尋ねているからです。以下、n ≧ 2 で考えます。

(2) $n=k$のとき、不等式が成り立つと仮定する。つまり、

$|a_k - 3| < (\frac{2}{3})^{k-1}|a_1 - 3|$　…(仮定)

(3) $n=k+1$のとき:

$|a_{k+1} - 3| < \frac{2}{3}|a_k - 3|$ (問題で与えられた条件)

$|a_k - 3|$に(2)の仮定を代入すると、

$|a_{k+1} - 3| < \frac{2}{3}(\frac{2}{3})^{k-1}|a_1 - 3|$

$|a_{k+1} - 3| < (\frac{2}{3})^k|a_1 - 3|$

これは、$n=k+1$のときも不等式が成り立つことを示しています。

したがって、数学的帰納法により、$n \geq 2$において、$|a_n - 3| < (\frac{2}{3})^{n-1}|a_1 - 3|$が成り立ちます。

条件$\left| a_{n+1} - 3 \right| < \frac{2}{3} \left| a_n - 3 \right|$を繰り返し用いることで、$|a_n - 3|$は、$n$が増加するにつれて、$|a_1 - 3|$に$(\frac{2}{3})^{n-1}$をかけた値よりも小さくなるということがわかります。

3. 最終的な答え

$\left| a_{n+1} - 3 \right| < \frac{2}{3} \left| a_n - 3 \right|$ が成り立つとき、$\left| a_n - 3 \right| < \left( \frac{2}{3} \right)^{n-1} \left| a_1 - 3 \right|$ が成り立つ理由は、$\left| a_{n+1} - 3 \right| < \frac{2}{3} \left| a_n - 3 \right|$の関係を繰り返し適用することで、$|a_n-3|$は初項からの差の絶対値$|a_1-3|$に公比$\frac{2}{3}$の等比数列の一般項をかけたものより小さくなるからです。