数列 $\{a_n\}$ について、$n \ge 2$ のとき、不等式を繰り返し用いることで、以下の不等式が得られることを示しています。 $0 \le |a_n - 3| < \frac{2}{3} |a_{n-1} - 3| < \cdots < (\frac{2}{3})^{n-1} |a_1 - 3|$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ について、$n \ge 2$ のとき、不等式を繰り返し用いることで、以下の不等式が得られることを示しています。

$0 \le |a_n - 3| < \frac{2}{3} |a_{n-1} - 3| < \cdots < (\frac{2}{3})^{n-1} |a_1 - 3|$

2. 解き方の手順

この問題は、不等式を繰り返し適用することで、$|a_n - 3|$ が $(\frac{2}{3})^{n-1} |a_1 - 3|$ より小さくなることを示すものです。

問題文から不等式(1)が与えられていると推測できます。ここでは、不等式(1)が

$|a_n - 3| < \frac{2}{3} |a_{n-1} - 3|$

であると仮定します。

$n \ge 2$ のとき、不等式(1)を繰り返し適用すると、以下のようになります。

$|a_n - 3| < \frac{2}{3} |a_{n-1} - 3|$

$|a_{n-1} - 3| < \frac{2}{3} |a_{n-2} - 3|$

これを繰り返すと、

$|a_2 - 3| < \frac{2}{3} |a_1 - 3|$

これらの不等式を組み合わせると、

$|a_n - 3| < \frac{2}{3} |a_{n-1} - 3| < (\frac{2}{3})^2 |a_{n-2} - 3| < \cdots < (\frac{2}{3})^{n-1} |a_1 - 3|$

したがって、$0 \le |a_n - 3| < (\frac{2}{3})^{n-1} |a_1 - 3|$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$0 \le |a_n - 3| < (\frac{2}{3})^{n-1} |a_1 - 3|$