コインを1枚投げる試行を考え、標本空間を $U = \{H, T\}$ とする。確率変数 $Y: U \rightarrow \mathbb{R}$ は、 $H$ に対して7、 $T$ に対して-2 を割り当てる。このとき、確率変数 $2Y$ の分散 $V[2Y]$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

コインを1枚投げる試行を考え、標本空間を $U = \{H, T\}$ とする。確率変数 $Y: U \rightarrow \mathbb{R}$ は、 $H$ に対して7、 $T$ に対して-2 を割り当てる。このとき、確率変数 $2Y$ の分散 $V[2Y]$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

コインを1枚投げる試行において、表（H）が出る確率と裏（T）が出る確率はそれぞれ1/2であると仮定する。

まず、確率変数 $Y$ の期待値 $E[Y]$ を計算する。

$E[Y] = (1/2) \times 7 + (1/2) \times (-2) = 7/2 - 2/2 = 5/2$

次に、確率変数 $Y$ の分散 $V[Y]$ を計算する。

$V[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2$

$E[Y^2] = (1/2) \times 7^2 + (1/2) \times (-2)^2 = (1/2) \times 49 + (1/2) \times 4 = 49/2 + 4/2 = 53/2$

$V[Y] = 53/2 - (5/2)^2 = 53/2 - 25/4 = 106/4 - 25/4 = 81/4$

確率変数 $2Y$ の分散 $V[2Y]$ は、分散の性質 $V[aX] = a^2 V[X]$ を用いて計算できる。ここで、$a=2$ なので、

$V[2Y] = 2^2 V[Y] = 4 \times (81/4) = 81$

3. 最終的な答え

81