(1) $(3x+2y)^6$ の展開式における $x^4y^2$ および $xy^5$ の係数を求める。 (2) $(x^2 - \frac{2}{x})^6$ の展開式における $x^3$ の係数および定数項を求める。

1. 問題の内容

(1) $(3x+2y)^6$ の展開式における $x^4y^2$ および $xy^5$ の係数を求める。

(2) $(x^2 - \frac{2}{x})^6$ の展開式における $x^3$ の係数および定数項を求める。

2. 解き方の手順

(1)

二項定理より、$(3x+2y)^6$ の展開式の一般項は

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{}_6 C_r (3x)^{6-r} (2y)^r = {}_6 C_r 3^{6-r} 2^r x^{6-r} y^r

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$x^4y^2$ の項は $6-r = 4$, $r = 2$ のときなので、係数は

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{}_6 C_2 \cdot 3^{6-2} \cdot 2^2 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot 3^4 \cdot 2^2 = 15 \cdot 81 \cdot 4 = 4860

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$xy^5$ の項は $6-r = 1$, $r = 5$ のときなので、係数は

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{}_6 C_5 \cdot 3^{6-5} \cdot 2^5 = {}_6 C_1 \cdot 3^1 \cdot 2^5 = 6 \cdot 3 \cdot 32 = 576

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(2)

二項定理より、$(x^2 - \frac{2}{x})^6$ の展開式の一般項は

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{}_6 C_r (x^2)^{6-r} (-\frac{2}{x})^r = {}_6 C_r x^{2(6-r)} (-2)^r x^{-r} = {}_6 C_r (-2)^r x^{12-2r-r} = {}_6 C_r (-2)^r x^{12-3r}

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$x^3$ の項は $12-3r = 3$ のときなので、$3r = 9$ より $r = 3$. したがって、係数は

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{}_6 C_3 (-2)^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot (-8) = 20 \cdot (-8) = -160

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定数項は $12-3r = 0$ のときなので、$3r = 12$ より $r = 4$. したがって、定数項は

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{}_6 C_4 (-2)^4 = {}_6 C_2 \cdot 16 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot 16 = 15 \cdot 16 = 240

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3. 最終的な答え

(1) $x^4y^2$ の係数は $4860$, $xy^5$ の係数は $576$

(2) $x^3$ の係数は $-160$, 定数項は $240$