## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

以下の等比数列の和 $S$ をそれぞれ求めます。

1. 初項3、公比4、項数5

2. 初項1、公比 $\frac{1}{3}$、項数4

3. 初項-3、公比1、項数 $n$

4. $2, -\frac{2}{3}, \frac{2}{9}, \dots$ (第 $n$ 項まで)

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2. 解き方の手順

等比数列の和の公式は次の通りです。

$S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ (ただし、$r \neq 1$)

$r = 1$ の場合、$S_n = na$

それぞれの問題について、以下の手順で解きます。

1. 問題1:

初項 $a = 3$, 公比 $r = 4$, 項数 $n = 5$ なので、和の公式に代入します。

$S_5 = \frac{3(1-4^5)}{1-4} = \frac{3(1-1024)}{-3} = 1023$

2. 問題2:

初項 $a = 1$, 公比 $r = \frac{1}{3}$, 項数 $n = 4$ なので、和の公式に代入します。

$S_4 = \frac{1(1-(\frac{1}{3})^4)}{1-\frac{1}{3}} = \frac{1-\frac{1}{81}}{\frac{2}{3}} = \frac{\frac{80}{81}}{\frac{2}{3}} = \frac{80}{81} \times \frac{3}{2} = \frac{40}{27}$

3. 問題3:

初項 $a = -3$, 公比 $r = 1$, 項数 $n$ なので、$r=1$ の場合の公式 $S_n = na$ を使います。

$S_n = n(-3) = -3n$

4. 問題4:

初項 $a = 2$, 公比 $r = -\frac{1}{3}$, 項数 $n$ なので、和の公式に代入します。

$S_n = \frac{2(1-(-\frac{1}{3})^n)}{1-(-\frac{1}{3})} = \frac{2(1-(-\frac{1}{3})^n)}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{2}(1-(-\frac{1}{3})^n)$

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3. 最終的な答え

1. 問題1: $S_5 = 1023$

2. 問題2: $S_4 = \frac{40}{27}$

3. 問題3: $S_n = -3n$

4. 問題4: $S_n = \frac{3}{2}(1-(-\frac{1}{3})^n)$