与えられた5つの行列 A, B, C, D, E それぞれについて、行列式と逆行列を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた5つの行列 A, B, C, D, E それぞれについて、行列式と逆行列を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 行列 A = $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ について

行列式は $\det(A) = ad - bc$ である。

もし $ad - bc \neq 0$ ならば、逆行列は

$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

(2) 行列 B = $\begin{pmatrix} 1 & p & t \\ 0 & 1 & q \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ について

行列式は $\det(B) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ である。

逆行列は

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -p & pq-t \\ 0 & 1 & -q \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) 行列 C = $\begin{pmatrix} \cos \varphi & -\sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ について

行列式は $\det(C) = \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = 1$ である。

逆行列は

$C^{-1} = \begin{pmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi & 0 \\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(4) 行列 D = $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$ について

行列式は $\det(D) = 1 \cdot (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = 1$ である。

逆行列は

$D^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

(5) 行列 E = $\begin{pmatrix} \cos \varphi & -\sin \varphi \cos \theta & -\sin \varphi \sin \theta \\ \sin \varphi & \cos \varphi \cos \theta & \cos \varphi \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$ について

行列式は

$\det(E) = \cos \varphi (\cos \varphi \cos^2 \theta + \cos \varphi \sin^2 \theta) + \sin \varphi \cos \theta (\sin \varphi \cos^2 \theta + \sin \varphi \sin^2 \theta) = \cos^2 \varphi \cos \theta + \sin^2 \varphi \cos \theta = \cos \theta$

逆行列は

$E^{-1} = \begin{pmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi & 0 \\ -\sin \varphi \cos \theta & \cos \varphi \cos \theta & -\sin \theta \\ -\sin \varphi \sin \theta & \cos \varphi \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} / \cos \theta = \begin{pmatrix} \frac{\cos \varphi}{\cos \theta} & \frac{\sin \varphi}{\cos \theta} & 0 \\ -\sin \varphi & \cos \varphi & -\tan \theta \\ -\sin \varphi \tan \theta & \cos \varphi \tan \theta & 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\det(A) = ad - bc$, $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

(2) $\det(B) = 1$, $B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -p & pq-t \\ 0 & 1 & -q \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(3) $\det(C) = 1$, $C^{-1} = \begin{pmatrix} \cos \varphi & \sin \varphi & 0 \\ -\sin \varphi & \cos \varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

(4) $\det(D) = 1$, $D^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

(5) $\det(E) = \cos \theta$, $E^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{\cos \varphi}{\cos \theta} & \frac{\sin \varphi}{\cos \theta} & 0 \\ -\sin \varphi & \cos \varphi & -\tan \theta \\ -\sin \varphi \tan \theta & \cos \varphi \tan \theta & 1 \end{pmatrix}$