8番の問題を解きます。a, b は実数の定数であるとき、3次方程式 $x^3 + (a-1)x^2 + (1-a)x + b = 0$ の実数解が $x=1$ だけであるとき、aの値の範囲と b の値を求める。

1. 問題の内容

8番の問題を解きます。a, b は実数の定数であるとき、3次方程式 $x^3 + (a-1)x^2 + (1-a)x + b = 0$ の実数解が $x=1$ だけであるとき、aの値の範囲と b の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x=1$ が解であることから、方程式に代入して b の値を求めます。

$1^3 + (a-1)(1)^2 + (1-a)(1) + b = 0$

$1 + a - 1 + 1 - a + b = 0$

$1 + b = 0$

よって、$b = -1$

したがって、方程式は

$x^3 + (a-1)x^2 + (1-a)x - 1 = 0$

$x=1$ が解なので、$x-1$ で因数分解できます。

組立除法を行うと、

\begin{array}{c|cccc}

1 & 1 & a-1 & 1-a & -1 \\

& & 1 & a & 1 \\

\hline

& 1 & a & 1 & 0

\end{array}

したがって、

$(x-1)(x^2 + ax + 1) = 0$

$x^2 + ax + 1 = 0$ の解は、$x=1$ のみであるか、実数解を持たないかのどちらかです。

(i) $x^2 + ax + 1 = 0$ が $x=1$ を重解に持つ場合

$1^2 + a(1) + 1 = 0$ より $a = -2$

このとき、$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 = 0$ となり、解は $x=1$ (重解)

このとき元の3次方程式は $(x-1)^3 = 0$　となり、実数解は $x=1$ のみ。

したがって、$a=-2$ は条件を満たします。

(ii) $x^2 + ax + 1 = 0$ が実数解を持たない場合

判別式 $D = a^2 - 4 < 0$

$a^2 < 4$

$-2 < a < 2$

このとき、元の3次方程式の実数解は $x=1$ のみとなるので、$-2 < a < 2$ は条件を満たします。

したがって、$a = -2$ または $-2 < a < 2$ より、 $-2 \le a < 2$ です。

3. 最終的な答え

$b = -1$, $-2 \le a < 2$