2次方程式 $x^2 + 2(k+1)x - 2k + 6 = 0$ が与えられています。 (1) 異なる2つの負の解を持つような定数 $k$ の値の範囲を求めます。 (2) 正の解と負の解を持つような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2(k+1)x - 2k + 6 = 0$ が与えられています。

(1) 異なる2つの負の解を持つような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

(2) 正の解と負の解を持つような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの負の解を持つ場合

- 判別式 $D > 0$

- 解の和 $\alpha + \beta < 0$

- 解の積 $\alpha \beta > 0$

これらの条件を全て満たす必要があります。

まず判別式 $D$ を計算します。

$D = (2(k+1))^2 - 4(1)(-2k+6) = 4(k^2 + 2k + 1) + 8k - 24 = 4k^2 + 8k + 4 + 8k - 24 = 4k^2 + 16k - 20 = 4(k^2 + 4k - 5) = 4(k+5)(k-1)$

$D > 0$ より、 $4(k+5)(k-1) > 0$。したがって、$k < -5$ または $k > 1$。

次に、解の和を求めます。

解の和 $\alpha + \beta = -2(k+1)$。

$\alpha + \beta < 0$ より、$-2(k+1) < 0$。したがって、$k+1 > 0$。すなわち、$k > -1$。

最後に、解の積を求めます。

解の積 $\alpha \beta = -2k + 6$。

$\alpha \beta > 0$ より、$-2k + 6 > 0$。したがって、$-2k > -6$。すなわち、$k < 3$。

これらの条件を全て満たす $k$ の範囲は、 $k < -5$ または $k > 1$, $k > -1$, $k < 3$。

したがって、$1 < k < 3$。

(2) 正の解と負の解を持つ場合

- 解の積 $\alpha \beta < 0$

解の積 $\alpha \beta = -2k + 6$。

$\alpha \beta < 0$ より、$-2k + 6 < 0$。したがって、$-2k < -6$。すなわち、$k > 3$。

3. 最終的な答え

(1) $1 < k < 3$

(2) $k > 3$