$k$の値によって与えられた方程式がただ一つの実数解を持つときの$x$の値を求める問題です。場合分けとして、$k=0$のときと$k\neq 0$のときを考えます。

1. 問題の内容

$k$の値によって与えられた方程式がただ一つの実数解を持つときの$x$の値を求める問題です。場合分けとして、$k=0$のときと$k\neq 0$のときを考えます。

2. 解き方の手順

[1] $k=0$のとき:

方程式は$2\sqrt{10}x - 7 = 0$となります。

これを$x$について解くと、$x = \frac{7}{2\sqrt{10}} = \frac{7\sqrt{10}}{20}$となります。

[2] $k\neq 0$のとき:

方程式は2次方程式となり、判別式を$D$とすると、$\frac{D}{4} = (\sqrt{10})^2 - k(-k-7) = 10 + k^2 + 7k = k^2 + 7k + 10 = (k+2)(k+5)$となります。

2次方程式がただ一つの実数解を持つための条件は$D=0$なので、$(k+2)(k+5) = 0$を解くと、$k = -2, -5$となります。これらは$k\neq 0$を満たします。

重解は$x = -\frac{2\sqrt{10}}{2k} = -\frac{\sqrt{10}}{k}$で与えられます。

$k = -2$のとき、$x = -\frac{\sqrt{10}}{-2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$となります。

$k = -5$のとき、$x = -\frac{\sqrt{10}}{-5} = \frac{\sqrt{10}}{5}$となります。

3. 最終的な答え

$k=0$のとき、$x = \frac{7\sqrt{10}}{20}$

$k=-2$のとき、$x = \frac{\sqrt{10}}{2}$

$k=-5$のとき、$x = \frac{\sqrt{10}}{5}$